Zadania 4b

222
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 9-4. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów dwójnika R, X (układ szeregowy)
oraz przebieg czasowy występującego na nim napięcia u. Oblicz wartości skuteczne i fazy początkowe oraz zapisz przebiegi czasowe napięć u1 i u2 .
R1
XL
R2
u1
XC
R1 = 1 Ω,
u2
X L = 2 Ω,
R 2 = 3 Ω,
XC = 5Ω
u (t ) = 20 2 ⋅ sin(ω t − 45°) , [u] = 1 V
u
Rozwiązanie - na postawie wzorów dla dzielnika napięcia:
U1 =
Z1
⋅U ,
Z
U2 =
Z2
⋅U .
Z
Obliczenia: U = 20 ⋅ e − j 45° (V);
Z 1 = 1 + j 2 ≅ 2,24 ⋅ e j 63° (Ω), Z 2 = 3 − j 5 ≅ 5,83 ⋅ e − j 59° (Ω), Z = 4 − j 3 ≅ 5 ⋅ e − j 37° (Ω);
2,24
5,83
U1 ≅
⋅ 20 ⋅ e j ( 63+37 −45)° ≅ 9,0 ⋅ e j 55° (V), U 2 ≅
⋅ 20 ⋅ e j ( −59+37−45)° ≅ 23,3 ⋅ e − j 67° (V).
5
5
Wyniki: U 1 ≅ 9,0 V; ψ u1 ≅ 55° ; u1 (t ) ≅ 9,0 2 sin(ω t + 55°) , [u1] = 1 V;
U 2 ≅ 23,3 V;
ψ u 2 ≅ −67° ; u 2 (t ) ≅ 23,3 2 sin(ω t − 67°) , [u1] = 1 V.
Zad. 9-5. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów dwójnika R, X (układ szeregowy)
oraz przebieg czasowy napięcia u1 występującego na parze elementów. Oblicz wartość skuteczną i
fazę początkową oraz zapisz przebieg czasowy napięcia u (na dwójniku).
R1
XL
R2
u1
XC
R1 = R2 = 10 3 Ω,
u2
X L = 10 Ω,
X C = 30 Ω
u1 (t ) = 100 2 ⋅ cos ω t , [u1] = 1 V
u
Rozwiązanie - na postawie wzoru dla dzielnika napięcia U 1 =
Obliczenia: u1 (t ) = 100 2 ⋅ cos ω t = 100 2 ⋅ sin(ω t + 90°) ,
Z1
⋅ U , stąd
Z
U=
Z
⋅U 1 .
Z1
U 1 = 100 ⋅ e j 90° (V);
Z 1 = 10 3 + j10 = 20 ⋅ e j 30° (Ω), Z = 20 3 − j 20 = 40 ⋅ e − j 30° (Ω);
40
U=
⋅ 100 ⋅ e j ( −30−30+90)° = 200 ⋅ e j 30° (V).
20
Wyniki: U = 200 V; ψ u ≅ 30° ; u (t ) = 200 2 sin(ω t + 30°) , [u] = 1 V.
Zad. 9-6. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów dwójnika R, X (układ szeregowy)
oraz wskazanie woltomierza V1 : R1 = 20 Ω,
R2 = X C = 10 Ω, U 1 = 10 V. Określ wskazanie
woltomierza V (woltomierze nie pobierają mocy i wskazują wartości skuteczne napięć).
R1
R2
V1
u1
V
u
XC
Rozwiązanie - na postawie wzoru dla dzielnika
Z
napięcia U 1 = 1 ⋅ U ,
Z
Z
Z
stąd U =
⋅U 1 i U =
⋅ U1 .
Z1
Z1
223
Zadania
Obliczenia:
Z = 30 2 + 10 2 ≅ 31,6 Ω,
Z1 = R1 = 20 Ω;
U≅
U ≅ 15,8 V.
Wynik:
Zad. 9-7. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów dwójnika R, X (układ szeregowy)
oraz wskazanie woltomierza V2 :
R1 = X L = 20 Ω, X C = 10 Ω, U 1 = 10 V.
Określ wskazanie woltomierza V.
Odpowiedź:
31,6
⋅ 10 = 15,8 V.
20
R1
XL
XC
V2
V
U ≅ 22,4 V.
Zad. 9-8. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów dwójnika G, B (układ równoległy)
oraz przebieg czasowy prądu całkowitego i. Oblicz wartości skuteczne i fazy początkowe oraz zapisz przebiegi czasowe prądów i1 i i2 .
i
i1
i2
R1
R2
XL
XC
R1 = 30 Ω,
X L = 40 Ω,
R2 = 40 Ω,
X C = 30 Ω
i (t ) = 3 2 ⋅ sin(ω t + 30°) , [i] = 1 A
Rozwiązanie - na postawie wzorów dla dzielnika prądu:
Y
Z2
Y
Z1
I1 = 1 ⋅ I =
⋅I ,
I2 = 2 ⋅I =
⋅I .
Y
Z1 + Z 2
Y
Z1 + Z 2
Obliczenia: I = 3 ⋅ e j 30° (A);
Z 1 = 30 + j 40 ≅ 50 ⋅ e j 53° (Ω), Z 2 = 40 − j 30 ≅ 50 ⋅ e − j 37° (Ω), Z 1 + Z 2 = 70 + j10 ≅ 70,7 ⋅ e j 8° (Ω);
50
50
I1 ≅
⋅ 3 ⋅ e j ( −37−8+30)° ≅ 2,12 ⋅ e − j15° (A), I 2 ≅
⋅ 3 ⋅ e j (53−8+30)° ≅ 2,12 ⋅ e j 75° (A);
70,7
70,7
1
1
albo Y 1 =
≅ 0,02 ⋅ e − j 53° ≅ 0,012 − j 0,016 (S), Y 2 =
≅ 0,02 ⋅ e j 37° ≅ 0,016 + j 0,012 (S),
Z1
Z2
Y = Y 1 + Y 2 ≅ 0,028 − j 0,004 ≅ 0,0283 ⋅ e − j 8° (S);
0,02
0,02
I1 ≅
⋅ 3 ⋅ e j ( −53+8+30)° ≅ 2,12 ⋅ e − j15° (A), I 2 ≅
⋅ 3 ⋅ e j (37 +8+30)° ≅ 2,12 ⋅ e j 75° (A).
0,0283
0,0283
Wyniki:
I1 ≅ 2,12 A;
ψ u1 ≅ −15° ; i1 (t ) ≅ 2,12 2 sin(ω t − 15°) , [i1] = 1 A;
I 2 ≅ 2,12 A;
ψ u 2 ≅ 75° ; i2 (t ) ≅ 2,12 2 sin(ω t + 75°) , [i2] = 1 A.
Zad. 9-9. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów
dwójnika G, B (układ równoległy) oraz wskazanie amperomierza A1 : R1 = 20 Ω, R2 = X C = 10 Ω, I 1 = 2 A.
Określ wskazanie amperomierza A.
A
i
i1
A1
R2
Rozwiązanie - na postawie wzoru dla dzielnika prądu:
Z1 + Z 2
Z2
Z +Z2
I1 =
⋅ I , stąd I = 1
⋅ I1 i I =
⋅ I1 .
Z1 + Z 2
Z2
Z2
Odpowiedź:
I ≅ 4,5 A.
R1
XC
224
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 9-9. W danym układzie wskazania wszystkich trzech woltomierzy są takie same. Określ wartość kąta przesunięcia fazowego dwójnika.
Rozwiązanie na podstawie wykresu wskazowego (zał. ψ i = 0 , tj. I = I – rzeczywisty):
I
R
L
C
ϕ
ϕ2 = − 90°
U
V2
V1
U1
U
U2
U1
U2
V
I
ϕ1 > 0
ϕ = −30°
(wskazy napięć tworzą trójkąt równoboczny).
Rozwiązanie na podstawie zależności analitycznych:
U 1 = U 2 = U , I 1 = I 2 = I , więc Z1 = Z 2 = Z czyli
R 2 + X L2 = X C = R 2 + ( X L − X C ) 2 ,
 R 2 + X L2 = X C2
tzn. 
, stąd R = 3 X L , X C = 2 X L ,
 R 2 + X L2 = R 2 + X L2 − 2 X L X C + X C2
X − XC
 1 
ϕ = arc tg L
= arc tg  −
 = −30° .
R
3

Zad. 9-10. W danym układzie wskazania wszystkich trzech amperomierzy są takie same. Określ
wartość kąta przesunięcia fazowego dwójnika.
Rozwiązanie na podstawie wykresu wskazowego (zał. ψ u = 0 ,
I
A
I1
I2
tj. U = U – rzeczywisty):
ϕ1 > 0
A2
A1
I2
I1
U
R
C
L
I
ϕ
ϕ2 = − 90°
U
ϕ = −30°
(wskazy prądów tworzą trójkąt równoboczny).
Zad. 9-11. W danym układzie zachodzą następujące zależności między wskazaniami amperomierzy: I 1 = I 2 , I = 3 I1 . Określ wartość kąta przesunięcia fazowego dwójnika.
Rozwiązanie na podstawie wykresu wskazowego (zał. ψ u = 0 ,
I
A
I1
I2
A1
tj. U = U – rzeczywisty):
U
A2
ϕ
U
ϕ1 > 0
I2
R1
I1
R2
L
ϕ = 30°
I
(wskazy prądów tworzą trójkąt równoramienny o równym
stosunku długości podstawy i ramion).
3