EGZAMIN z „Rachunku prawdopodobieństwa i statystyki

EGZAMIN
z „Rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej”
I termin, 4 czerwca 2007 roku
Zadanie 1. Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego o gęstości
f (x) =
1
1
·
.
π 1 + x2
Wyznacz gęstość zmiennej Y = 2X 2 + 1.
Zadanie 2. Wektor (X, Y ) ma rozkład o gęstości
f (x, y) = (x2 + 2y 2 )1(0,1) (x)1(0,1) (y).
Wyznacz gęstość warunkową f (x | y) oraz wykaż, że E X | Y =
1
2
= 53 .
Zadanie 3. Znajdź granicę według rozkładu ciągu
n
1 X
1
+ 2/3
Xk ,
n
n k=1
Zn = cos
gdzie X1 , X2 , . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1).
Czy ciąg Zn jest zbieżny według prawdopodobieństwa?
Zadanie 4. X1 , X2 , . . . , Xn jest próbą prostą z rozkładu Poissona P o(λ). Zbadaj, dla jakich a ∈ R \ N
P
n + nk=1 1{2} (Xk )
θn =
n−a
jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2). Dla jakich a estymator ten jest nieobciążony?
Zadanie 5. Wykonano 100 prób polegających na rzucaniu monetą do chwili otrzymania
pierwszego orła. Poniższa tabela przedstawia otrzymane wyniki:
Liczba rzutów
Liczba prób
1 2 3 4 5 6 7 i więcej
44 27 10 9 3 4 3
Wykaż, że otrzymane wyniki potwierdzają hipotezę, że czas oczekiwania na pierwszy
sukces w schemacie prób Bernoulliego polegających na rzucie monetą ma rozkład
geometryczny z parametrem p = 12 . Przyjmij poziom istotności α = 0, 01 i skorzystaj
z podanych niżej wartości z tablicy rozkładu χ2 .
k
χ21−0,01
1
2
3
4
5
6
7
8
6, 635 9, 210 11, 345 13, 277 15, 086 16, 812 18, 475 20, 090