seria VI
Transkrypt
seria VI
Analiza matematyczna 3, semestr zimowy Zadanie 1. seria 6 Niech f : R2 → R b¦dzie funkcj¡ dan¡ wzorem: ( f (x, y) = xy 2 x2 +y 2 je±li (x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Udowodni¢, »e f jest ci¡gªa na R2 oraz, »e dla ka»dego u ∈ R2 \{(0, 0)} istnieje pochodna kierunkowa w punkcie (0, 0) w danym kierunku u. Sprawdzi¢ czy f ró»niczkowalna w punkcie (0, 0). Takie same polecenie jak w zadaniu 1, dla funkcji f : R2 → R zadanej przez: Zadanie 2. ( f (x, y) = Zadanie 3. x2 y 3 x4 +y 4 je±li (x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Dla jakich α > 0 funkcja f : R2 → R dana przez: ( √|2xy| α 5x2 +2y 2 f (x, y) = 0 je±li (x, y) 6= (0, 0) je±li (x, y) = (0, 0) jest ró»niczkowalna w punkcie (0, 0)? Zadanie 4. wzorem: Sprawdzi¢ czy istniej¡ pochodne funkcji f : R2 → R danej f (x, y) = x2 y2 je±li |x| ≤ y je±li x > y Zbada¢ istnienie pochodnych cz¡stkowych funkcji f : R2 → R danej wzorem: Zadanie 5. ( f (x, y) = je±li (x, y) 6= (0, 0) je±li (x, y) = (0, 0) sin(xy) |x|+|y| 0 Czy funkcja f jest klasy C 1 ? To samo polecenie jak w zadaniu 5, dla funkcji F : R2 → R zadanej wzorem: Zadanie 6. ( f (x, y) = 2 2 xy xx2 −y +y 2 0 je±li (x, y) 6= (0, 0) je±li (x, y) = (0, 0) Zadanie 7. Pokaza¢, »e funkcja f dana wzorem: f (x, y) = x2 y 2 sin x1 0 je±li x 6= 0 je±li x = 0 jest ró»niczkowalna w ka»dym punkcie R2 . Wyznaczy¢ maksymalny zbiór punktów, w których obydwie pochodne cz¡stkowe s¡ ci¡gªe. Niech E n oznacza przestrze« wielomianów stopnia nie wi¦kszego ni» n. Sprawdzi¢ ró»niczkowalno±¢ nast¦puj¡cych funkcji: Zadanie 8. 1. U : E n 3 P 7→ R1 0 (P 4 (t) − 3P 2 (t))dt ∈ R 2. V : E n 3 P 7→ P 0 − P 3 ∈ E n . Zadanie 9. Sprawdzi¢ ró»niczkowalno±¢ odwzorowa«: a) f : R2 → R zdeniowanego przez f (x1 , x2 ) = kxk∞ = max (|x1 |, |x2 |). b) f : R2 3 (x1 , x2 ) 7→ kxk1 = |x1 | + |x2 | ∈ R. 2