Analiza matematyczna II.1

Analiza matematyczna II.1
Zadania – część 4
Notacja: Symbol K – jak zwykle – oznacza ciało skalarów, którym może być R lub C.
Symbol n oznacza dowolną liczbę naturalną.
1. W każdym punkcie x0 ∈ Kn znaleźć postać różniczki df (x0 ) funkcji f : Kn → R
określonej wzorem f (x) = hx, xi.
2. Zbadać, czy istnieje różniczka df (0, 0) funkcji f : R2 → R określonej wzorem:
x3 + y 3
√ 2
dla (x, y) 6= (0, 0),
(a) f (x, y) =  x + y 2

0
dla (x, y) = (0, 0),






xy(x + y)
dla (x, y) 6= (0, 0),
(b) f (x, y) =
x2 + y 2


0
dla (x, y) = (0, 0),
x3 + y 6
dla (x, y) 6= (0, 0),
(c) f (x, y) =
x2 + y 4


0
dla (x, y) = (0, 0),






(d) f (x, y) = 

xy sin
1
dla (x, y) 6= (0, 0),
x2 + y 2
0
dla (x, y) = (0, 0),
i jeśli istnieje – podać jej wzór.
3. Znaleźć różniczkę inwersji względem sfery jednostkowej, tj. odwzorowania f : Rn \{0} →
Rn danego wzorem f (x) = x/kxk2 (norma euklidesowa). Sprawdzić, że w każdym punkcie
dziedziny różniczka ta jest podobieństwem.
4. Wykazać, że odwzorowanie f : Rn → Rn jest podobieństwem wtedy i tylko wtedy, gdy
jest postaci f (x) = Ax + x0 dla pewnego wektora x0 ∈ Rn i pewnej macierzy A ∈ Rn×n
spełniającej AAT = k 2 In , gdzie k jest stałą podobieństwa, a In – macierzą jednostkową
wymiaru n.
2
5. Znaleźć różniczkę wyznacznika, tj. funkcji ϕ : Rn → R danej wzorem ϕ(x1 , . . . , xn ) =
det(x1 , . . . , xn ), gdzie x1 , . . . , xn są wektorami z Rn (kolumnami rozważanej macierzy).
6. Wykazać, że funkcja f : R2 → R dana jako
f (x, y) =
q
3
x3 + y 3
ma pochodną kierunkową fv0 (0, 0) w każdym kierunku v ∈ R2 ale funkcja
R2 3 v 7→ fv0 (0, 0)
nie jest liniowa.
7. Wykazać, że funkcja f : R2 → R dana wzorem
f (x, y) =



(x2 + y 2 ) sin √
1
dla (x, y) 6= (0, 0),
+ y2
dla (x, y) = (0, 0),
x2
0


jest różniczkowalna w punkcie (0, 0) (znaleźć df (0, 0)), ale mimo to jej pochodne cząstkowe
nie są w tym punkcie ciągłe.
8. Pokazać, że dla każdego odwzorowania różniczkowalnego f : R → R3 spełniającego
kf (t)k = 1 dla t ∈ R mamy hf 0 (t), f (t)i = 0 dla każdego t ∈ R. Podać interpretację
geometryczną.
9. Rozważmy funkcję f : R2 → R daną wzorem
x3
dla (x, y) 6= (0, 0),
f (x, y) =  x2 + y 2

0
dla (x, y) = (0, 0).



(a) Wykazać, że pochodne cząstkowe dx f i dy f są funkcjami ograniczonymi na R2
(i stąd, że f jest funkcją ciągłą).
(b) Wykazać, że dla dowolnego wektora jednostkowego v ∈ R2 istnieje pochodna kierunkowa fv0 (0, 0) oraz że |fv0 (0, 0)| ¬ 1.
(c) Udowodnić, że dla dowolnej krzywej różniczkowalnej γ : R → R2 spełniającej γ(0) =
(0, 0) oraz dγ(0) 6= 0 funkcja
R 3 t 7→ f (γ(t))
jest różniczkowalna na R.
(d) Na koniec, wykazać, że pomimo tez (a)–(c) funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).
10. Rozważmy przestrzeń unormowaną (Banacha) `1 złożoną z wszystkich takich ciąP
gów x : N → K, że ∞
n=1 |xn | < ∞, wyposażoną w zwykłe działania „po współrzędnych”i w normę
kxk =
∞
X
|xn |.
n=1
Udowodnić, że odwzorowanie f : `1 → R dane jako f (x) = kxk nie jest różniczkowalne
w żadnym punkcie przestrzeni `1 .
11. Niech C([a, b]) oznacza, jak zwykle, przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale [a, b]
o wartościach w K, wyposażoną w normę supremum. Dowieść różniczkowalności i wyznaczyć postać różniczki dϕ odwzorowania ϕ : C([a, b]) → R określonego wzorem
ϕ(f ) =
Z b
h(t)f 2 (t) dt dla f ∈ C([a, b]),
a
gdzie h jest ustaloną funkcją z C([a, b]).
2