Informatyka, I kolokwium poprawkowe z Matematyki, 13 września

Informatyka, I kolokwium poprawkowe z Matematyki, 13 września 2010 r.
Imię i nazwisko .............................................................
1
2
3
4
5
Razem
Zadanie 1.
a) Określić przedział zbieżności szeregu potęgowego
√
3
∞
X
n+2
n
(−1)
(x + 3)n .
n
+
1
n=1
b) Pokazać, że szereg funkcyjny
∞
X
n=1
2n−1
1
√
1 + nx
jest zbieżny jednostajnie na przedziale [0, ∞).
Zadanie 2. Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema (lokalne i globalne) funkcji
f : R → R danej wzorem
f (x) = x2 e−x .
Zadanie 3. Wykorzystując wzór Taylora dla funkcji (−1, ∞) 3 x 7→ ln (1 + x), znaleźć wartość
ln (1.1) z dokładnością 10−4 .
Zadanie 4. Obliczyć całki nieoznaczone
a)
b)
Z
x2
Z
x−6
dx,
− 4x + 6
sin (ln x) dx.
Zadanie 5. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f : R2 → R określonej wzorem
f (x) = x3 + y 3 − 3xy
na zbiorze
0 ¬ x ¬ 2,
−1 ¬ y ¬ 2.