KARTA KURSU

KARTA KURSU DLA STUDIÓW PODYPLOMOWYCH
NAZWA Arytmetyka i algebra
NAZWA W J. ANG. Arithmetics and algebra
Punktacja ECTS*
9
OPIS KURSU (Cele kształcenia)
Celem tego przedmiotu jest usystematyzowanie i pogłębienie wiadomości słuchaczy z arytmetyki i
algebry, z całego procesu kształcenia w szkołach podstawowych, gimnazjach i szkołach średnich,
ponadto zapoznanie słuchaczy z podstawowymi pojęciami i twierdzeniami algebry wyższej (struktury
algebraiczne i ich homomorfizmy, macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych).
EFEKTY KSZTAŁCENIA
Efekt kształcenia dla kursu
WIEDZA
Efekty kształcenia dla studiów
podyplomowych
W01 Absolwent zna definicje grupy, pierścienia,
K_W02, K_W05
ciała, przestrzeni liniowej oraz różne modele każdej
z tych struktur.
W02 Zna cechy podzielności liczb przez 2, 3, 4, 6,
K_W02, K_W05
7, 8, 9, 11, 13.
W03 Zna twierdzenia o wielomianach, omawiane w K_W02
szkołach średnich.
Efekt kształcenia dla kursu
U01 Absolwent potrafi korzystać z cech
podzielności liczb.
UMIEJĘTNOŚCI U02 Potrafi wyznaczyć macierz odwrotną do danej
macierzy odwracalnej.
U03 Potrafi rozwiązywać układy równań liniowych
metodą eliminacji (Gaussa), a układy oznaczone
metodą wyznaczników.
U04 Potrafi wyznaczyć największy wspólny dzielnik
dwóch liczb (w szczególności korzystając z
algorytmu Euklidesa).
U05 Potrafi dostrzegać struktury algebraiczne w
różnych zagadnieniach matematycznych.
Efekty kształcenia dla
studiów podyplomowych
KU_01, KW_05
KU_02
KU_02
KU_01
K_U02
1
Efekt kształcenia dla kursu
Efekty kształcenia dla
studiów podyplomowych
K01 Absolwent potrafi formułować pytania służące
KOMPETENCJE pogłębieniu zrozumienia danego tematu, np.
uzupełnieniu rozumowania.
SPOŁECZNE
K_K05,K_K06
ORGANIZACJA
FORMA
ZAJĘĆ
WYKŁAD (W)
LICZBA
GODZIN
20
ZAJĘCIA W GRUPACH
A
K
L
S
P
EL
30
OPIS METOD PROWADZENIA ZAJĘĆ
Wykłady i ćwiczenia audytoryjne aktywizujące grupę słuchaczy. Rozwiązywanie na ćwiczeniach zadań
z całą grupą słuchaczy oraz w mniejszych grupach. Dyskusja po wykładach lub wysłuchanych
referatach, przygotowanych przez słuchaczy. Konsultacje.
W01
W02
W03
U01
U02
U03
U04
U05
K01
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Inne
Egzamin
pisemny
Egzamin ustny
Praca pisemna
(esej)
Referat
Udział w
dyskusji
Projekt
grupowy
Projekt
indywidualny
Praca
laboratoryjna
Zajęcia
terenowe
Ćwiczenia w
szkole
Gry
dydaktyczne
E – learning
FORMY SPRAWDZANIA EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2
TREŚCI MERYTORYCZNE (wykaz tematów)
1. Liczby naturalne, liczby pierwsze (w szczególności dowód Euklidesa, że liczb pierwszych jest
nieskończenie wiele; sita liczb pierwszych), rozkład liczby naturalnej na iloczyn liczb pierwszych. Liczby
całkowite, kongruencje w pierścieniu liczb całkowitych, cechy podzielności (np. przez 2, 3, 4, 5, 7, 8,
11, 13, 17), algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność,
liczby względnie pierwsze. Równania diofantyczne. Systemy pozycyjne i niepozycyjne zapisu liczb.
2. Grupa, pierścień, ciało, podgrupa, podpierścień, podciało. Struktury algebraiczne zbiorów
liczbowych. Dzielnik normalny grupy, grupa ilorazowa. Ideał pierścienia, pierścień ilorazowy.
Kongruencje grup, kongruencje pierścieni. Liczby wymierne i rzeczywiste. Dwumian Newtona, trójkąt
Pascala. Arytmetyka modularna.
3. Homomorfizmy struktur algebraicznych, niezmienniki izomorfizmu struktur, struktury izomorficzne.
4. Liczby zespolone. Działania w zbiorze liczb zespolonych, postacie algebraiczna i trygonometryczna
liczby zespolonej; potęgowanie i pierwiastkowanie. Pierwiastki rzeczywiste i zespolone równania
kwadratowego.
5. Wielomiany. Działania w zbiorze wielomianów. Pierwiastki wymierne, rzeczywiste i zespolone
wielomianu. Twierdzenie Bezouta, schemat Hornera. Rozkład wielomianu na czynniki. Równania i
nierówności wielomianowe. Funkcje wymierne. Równania i nierówności wymierne.
6. Macierze, działania na macierzach, wyznaczniki. Równania macierzowe, macierz odwrotna do
macierzy odwracalnej. Układy równań liniowych. Badanie istnienia i ilości rozwiązań układu równań
liniowych. Wzory Cramera. Metoda eliminacji (Gaussa). Nierówności liniowe.
7. Przestrzeń wektorowa i jej podprzestrzeń. Liniowa niezależność układu wektorów. Podprzestrzeń
generowana. Baza przestrzeni wektorowej, współrzędne wektora w bazie. Odwzorowanie liniowe.
Reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego.
Wykaz literatury podstawowej
1.
2.
3.
4.
5.
J. Gancarzewicz, Arytmetyka, Kraków 2004 B. Gleichgewicht, Algebra, GiS, Wrocław, 2004
B. Gleichgewicht, Algebra, GiS, Wrocław, 2004
W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, PWN, Warszawa 2006
J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2004
S.Y. Yan, Teoria liczb w informatyce, PWN, Warszawa 2006
Wykaz literatury uzupełniającej
1. J. Górowski, A.Łomnicki, Arytmetyka i algebra, cz.I i II, Wojewódzki Ośrodek Metodyczny, BielskoBiała 1994
2. W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa, 2003
3. W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 2004
3
Bilans godzinowy zgodny z CNPS (Całkowity Nakład Pracy Studenta)
Wykład
Ilość godzin w kontakcie z
prowadzącymi
Ilość godzin pracy studenta
bez kontaktu z
prowadzącymi
Ćwiczenia audytoryjne
20
30
Pozostałe godziny kontaktu studenta z prowadzącym
20
Lektura w ramach przygotowania do zajęć
40
Przygotowanie krótkiej pracy pisemnej lub referatu po
zapoznaniu się z niezbędną literaturą przedmiotu
20
Przygotowanie projektu lub prezentacji na podany temat
(praca w grupie)
30
Przygotowanie do egzaminu
65
Ogółem bilans czasu pracy
225
4