Obliczanie długości łuku krzywych - Open AGH e

Obliczanie długości łuku krzywych
Autor: Witold Majdak
DEFINICJA
Definicja 1: Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie
Rozważmy krzywą Γ zadaną parametrycznie w następujących sposób:
Γ = {(x, y) ∈ R2 : x = φ(t), y = ψ(t), t ∈ [α, β]},
gdzie φ i ψ są funkcjami ciągłymi w przedziale [α, β]. Zdefiniujmy długość d łuku krzywej Γ. Podzielmy przedział [α, β] na n
podprzedziałów wybierając punkty podziału tk ( k = 0, … , n) tak, aby zachodziła zależność
α = t0 < t1 < … < tn = β.
Niech Δk = tk − tk−1 oraz δn = max{Δk : k = 1, … , n}. Zauważmy, że punkty Pk = (φ(tk ), ψ(tk )) ∈ Γ
( k = 1, … , n) wyznaczają łamaną Γn , która przybliża krzywą Γ w przedziale [α, β].
Rysunek 1: Krzywa zadana parametrycznie wraz z oznaczonymi na niej punktami odpowiadającymi punktom podziału przedziału [α, β]
Długość otrzymanej łamanej wyraża się wzorem
n
dn = ∑ |Pk−1 Pk |,
k=1
gdzie |Pk−1 Pk | jest długością odcinka łączącego punkty Pk−1 i Pk (k = 1, … , n). Jeżeli istnieje granica
lim dn
n→∞
i jest ona jest niezależna od wyboru normalnego ciągu podziałów przedziału [α, β] (czyli takich jego podziałów, że
lim δn = 0), to mówimy, że krzywa Γ jest krzywą prostowalną w przedziale [α, β]. Granicę tę nazywamy długością łuku
n→∞
krzywej Γ w przedziale [α, β].
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1: o długości krzywej zadanej parametrycznie
Jeżeli Γ jest krzywą prostowalną zadaną parametrycznie, a funkcje φ : [α, β] → R i ψ : [α, β] → R są klasy C 1 , to długość
krzywej Γ wyraża się wzorem
β
−−−−−−
−−−−−−−−2
2
d = ∫ √(φ′ (t)) + (ψ′ (t)) dt.
(1)
α
DOWÓD
Na początku zauważmy, że dla każdego n ∈ N długość łamanej Γn jest równa
−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−2
n
n
2
dn = ∑ |Pk−1 Pk | = ∑ √(φ(tk ) − φ(tk−1 )) + (ψ(tk ) − ψ(tk−1 )) .
k=1
k=1
Ponieważ funkcje φ i ψ są klasy C 1 na przedziale [α, β], więc do każdej z nich i do każdego z przedziałów [tk−1 , tk ]
( k = 1, … , n) możemy zastosować twierdzenie Lagrange'a. Otóż na jego podstawie istnieją takie punkty ξk i ξk∗ należące do
przedziału (tk−1 , tk ), że
φ(tk )−φ(tk−1 )
tk −tk−1
= φ′ (ξk )
oraz
ψ(tk )−ψ(tk−1 )
tk −tk−1
= ψ′ (ξk∗ ).
Stąd po przekształceniach otrzymujemy
φ(tk ) − φ(tk−1 ) = φ′ (ξk )(tk − tk−1 ) = φ′ (ξk )Δk ,
ψ(tk ) − ψ(tk−1 ) = ψ′ (ξk∗ )(tk − tk−1 ) = ψ′ (ξk∗ )Δk ,
gdzie Δk oznacza długość przedziału (tk−1 , tk ). Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru na dn , dostajemy
−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−2
−−−−−−−
−−−−−−−−−2
n
n
2
2
dn = ∑ √(φ′ (ξk )Δk ) + (ψ′ (ξk∗ )Δk ) = ∑ √(φ′ (ξk )) + (ψ′ (ξk∗ )) Δk .
k=1
k=1
Teraz przechodząc z dn do granicy przy n → ∞ (i oczywiście pamiętając, że lim δn = 0), otrzymujemy
n→∞
β
−−−−−−−
−−−−−−−−−2
−−−−−−
−−−−−−−−2
n
2
2
d = lim ∑ √(φ′ (ξk )) + (ψ′ (ξk∗ )) Δk = ∫ √(φ′ (t)) + (ψ′ (t)) dt.
n→∞ k=1
α
CND.
PRZYKŁAD
Przykład 1:
Obliczymy długość krzywej zwanej asteroidą , która jest zadana równaniami parametrycznymi
{
x = φ(t) := a3 cos3 t,
y = ψ(t) := a3 sin3 t,
gdzie t ∈ [0, 2π] , natomiast a jest ustaloną liczbą dodatnią.
Rysunek 2: Asteroida
Asteroida jest symetryczna względem obu osi układu współrzędnych, więc do obliczenia jej długości wystarczy wyznaczyć
długość łuku leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Zauważmy, że x = φ(t) i y = ψ(t) są funkcjami klasy
C 1 , a ich pochodne wynoszą odpowiednio:
φ′ (t) = −3a3 cos2 t sin t,
ψ′ (t) = 3a3 sin2 t cos t.
2
2
Obliczmy wartość wyrażenia (φ′ (t)) + (ψ′ (t)) > 0 dla każdego t ∈ (0, π2 ). Otóż
(φ′ (t))2 + (ψ′ (t))2 = (−3a3 cos2 t sin t)2 + (3a3 sin2 t cos t)2
= 9a6 cos4 t sin2 t + 9a6 sin4 t cos2 t
= 9a6 cos2 t sin2 t(cos2 t + sin2 t)
= 9a6 cos2 t sin2 t > 0.
Korzystając ze wzoru ( 1 ) na długość krzywej, otrzymujemy
−−−−−−−−−−−−−−
2
2
−−−−−−−−−−−
d = 4 ∫ √(φ′ (t))2 + (ψ′ (t))2 dt = 4 ∫ √9a6 cos2 t sin2 tdt = 4 ∫ 3a3 | cos t|| sin t|dt.
π
2
π
0
π
0
0
Wartości sin t i cos t są nieujemne dla każdego t ∈ [0, π2 ], zatem
π
2
π
2
d = 12a ∫ cos t sin tdt = 6a ∫ sin 2tdt = 6a3 ⋅
3
3
0
0
1
2
π
(− cos 2t)∣02 = 3a3 ⋅ 2 = 6a3 .
Podamy teraz twierdzenie, które umożliwi nam wyznaczanie długości krzywej, która jest wykresem funkcji zmiennej x.
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2: o długości krzywej będącej wykresem funkcji jednej zmiennej
Długość d łuku krzywej będącej wykresem funkcji f : [a, b] → R, która jest klasy C 1 , wyraża się wzorem
d=
b
dx.
b
−−−−−−−−−
d = ∫ √1 + (f ′ (x))2 dx.
(2)
a
DOWÓD
Przyjmijmy, że
x = φ(t) := t oraz
y = ψ(t) := f(t)
dla
t ∈ [a, b].
Wówczas na podstawie twierdzenia o długości krzywej zadanej parametrycznie otrzymujemy
b
−−−−−−
−−−−−−−−2
b
−−−−−−−−−
2
d = ∫ √(φ′ (t)) + (ψ′ (t)) dt = ∫ √1 + (f ′ (t))2 dt.
a
a
CND.
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Obliczmy długość linii łańcuchowej f(x) = 12 (ex + e−x ), gdzie x ∈ [−1, 1].
Rysunek 3: Linia łańcuchowa
Ponieważ pochodna funkcji f wyraża się wzorem
f ′ (x) =
1
2
(ex − e−x ),
więc wyrażenie podpierwiastkowe ma postać
1 + (f ′ (x))2 = 1 +
(e x −e −x )2
4
=
4+e 2x −2+e −2x
4
=
e 2x +2+e −2x
4
=
(e x +e −x )2
4
.
Podstawiając to wyrażenie do wzoru ( 2 ), otrzymujemy długość krzywej
−−x−−−
−−
1
−−−−−−−−−
1
1
(e +e −x )2
d = ∫ √1 + (f ′ (x))2 dx = ∫ √
dx
=
∫
4
−1
−1
−1
e x +e −x
2
dx =
1
e x −e −x ∣
2
∣−1
= e − e−1 .
Dla krzywej Γ zadanej w postaci biegunowej zachodzi następujące twierdzenie.
TWIERDZENIE
Twierdzenie 3: o długości krzywej zadanej w postaci biegunowej
Jeżeli krzywa Γ zadana jest w postaci biegunowej r = r(ϕ), gdzie r : [α, β] → R jest funkcją klasy C 1 , a łuk krzywej Γ nie
ma punktów wielokrotnych, to długość tej krzywej wyraża się wzorem
β
−−−−−−−−−−−−−−
d = ∫ √(r(ϕ))2 + (r′ (ϕ))2 dϕ.
(3)
α
DOWÓD
Krzywą wyrażoną w postaci biegunowej można także zapisać parametrycznie, przy pomocy tzw. współrzędnych biegunowych:
{
x = φ(ϕ) := r(ϕ) cos ϕ,
y = ψ(ϕ) := r(ϕ) sin ϕ,
gdzie ϕ ∈ [α, β], a następnie jej długość wyrazić za pomocą wzoru ( 1 ).
Ponieważ pochodne funkcji φ i ψ są postaci
φ′ (ϕ) = r′ (ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ,
ψ′ (ϕ) = r′ (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ
dla ϕ ∈ [α, β], to wyrażenie podpierwiastkowe przyjmuje postać
(φ′ (ϕ))2 + (ψ′ (ϕ))2 = (r′ (ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ)2 + (r′ (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ)2
2
= (r′ (ϕ)) cos2 ϕ − 2r′ (ϕ)r(ϕ) cos ϕ sin ϕ + r2 (ϕ) sin2 ϕ
2
+(r′ (ϕ)) sin2 ϕ + 2r′ (ϕ)r(ϕ) cos ϕ sin ϕ + r2 (ϕ) cos2 ϕ
2
2
2
= (r′ (ϕ)) (sin2 ϕ + cos2 ϕ) + r2 (ϕ)(sin2 ϕ + cos2 ϕ) = (r(ϕ)) + (r′ (ϕ)) .
W konsekwencji
β
β
−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−
d = ∫ √(φ′ (ϕ))2 + (ψ′ (ϕ))2 dϕ = ∫ √(r(ϕ))2 + (r′ (ϕ))2 dϕ.
α
α
CND.
PRZYKŁAD
Przykład 3:
Wyprowadzimy wzór na długość okręgu o promieniu a. Równanie okręgu we współrzędnych biegunowych ma postać
r(ϕ) = a,
gdzie ϕ ∈ [0, 2π].
Podstawiając r(ϕ) i r′ (ϕ) = 0 do wzoru ( 3 ) na długość krzywej, otrzymujemy znany wzór na długość okręgu
d=
2π
dϕ =
2π
a dϕ = aϕ
= 2πa.
2π
2π
2π
−−−−−−
d = ∫ √a2 + 02 dϕ = ∫ a dϕ = aϕ∣∣ = 2πa.
0
0
0
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2015-11-09 22:50:11
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=00edd5b85bc6ac68dfb7e15226a7927b
Autor: Witold Majdak