RACHUNEK PRAWDOPODOBIE NSTWA I STATYSTYKA
Transkrypt
RACHUNEK PRAWDOPODOBIE NSTWA I STATYSTYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEN STWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA Lista nr 2 Zadania ze skryptu H. Jasiulewicz i W. Kordecki \Rachunek prawdopodobienstwa i statystyka matematyczna" 1.2.14. Dwie osoby maja jednakowe prawdopodobienstwo przybycia na dane miejsce w ka_zdej chwili przedzialu czasu dlugosci T. Obliczyc prawdopodobienstwo, z_ e czas oczekiwania jednej osoby na druga bedzie nie dlu_zszy ni_z t (0 < t < T ). 1.2.16. Z kwadratu = [0; 1] [0; 1] wybieramy punkt o wsp olrzednych 2 (p; q). Jakie jest prawdopodobienstwo, z_ e rownanie x + px + q = 0 bedzie mialo dwa pierwiastki zespolone ? 1.3.6. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Obliczyc prawdopodobie nstwo wyrzucenia wiecej ni_z trzech oczek na pierwszej kostce, jesli wiadomo,_ze suma liczby oczek na obu kostkach jest mniejsza od pieciu. 1.3.8. W rodzinie jest czw orka dzieci. Prawdopodobienstwo, z_ e dziecko jest chlopcem wynosi 0.51. Znalezc prawdopodobienstwo tego, z_ e w rodzinie jest co najmniej jeden chlopiec. Znalezc prawdopodobienstwo tego, z_ e wszystkie dzieci sa chlopcami, jesli wiadomo, z_ e w tej rodzinie jest co najmniej jeden chlopiec. 1.3.9. Charakterystyka surowca przygotowanego do produkcji mo_ ze znajdowac sie w szesciu przedzialach z prawdopodobienstwami 0.09, 0.16, 0.25, 0.25, 0.16 i 0.09. W zale_znosci od wlasciwosci surowca prawdopodobienstwa otrzymania produkcji pierwszego gatunku wynosza odpowiednio 0.2, 0.3, 0.4,0.4,0.3 i 0.2. Obliczyc prawdopodobienstwo otrzymania produkcji pierwszego gatunku. 1.3.15. Pewna choroba wyst epuje u 0.2% ogolu ludnosci. Przygotowano test do jej wykrycia. Test daje wynik pozytywny u 97% chorych i 1% zdrowych. Obliczyc prawdopodobienstwo tego, z_ e losowo wybrana osoba jest chora, jesli test tej osoby dal wynik pozytywny. 1.3.18. Z trzech pracujacych niezale_znie elementow urzadzenia dwa zawiodly. Znalezc prawdopodobienstwo tego, z_ e zawiodly elementy pierwszy i drugi, jesli prawdopodobienstwa awarii elementow pierwszego, drugiego i trzeciego sa odpowiednio rowne: p1 = 0:2; p2 = 0:4; p3 = 0:3. 1.2.22. Prawdopodobie nstwo pojawienia sie zdarzenia A przynajmniej raz przy czterech niezale_znych doswiadczeniach jest rowne 0.59. Jakie jest prawdopodobienstwo pojawienia sie zdarzenia A przy jednym doswiadczeniu, je_zeli przy ka_zdym doswiadczeniu prawdopodobienstwo to jest takie samo. 2.1.1. Dla jakich warto sci parametrow a i b funkcja 8 ax >< 0:5e dla x 1; F (x) = > bx + 0:75 dla , 1 < x 2; :1 dla x > 2 jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X ? Przyjmujac a = 0:5 oraz b = 0:1 obliczyc: a) P (1 X < 2), b) P (0 X 1), c) P (0:5 X 1:5), d) P (,1 X < 3). Zadania spoza skryptu: Rzucamy dwiema kostkami do gry. Rozpatrzmy trzy zdarzenia : A - suma oczek jest parzysta, B - suma oczek jest mniejsza ni_z 4, C - suma oczek jest podzielna przez 3. Czy zdarzenia A; B; C sa wzajemnie niezale_zne? 2. Obserwujemy czas niezawodnej pracy k z _ arowek. Jak wyglada przestrzen zdarzen elementarnych? Jak zdeniowac zmienna losowa opisujaca czas pracy ukladow rownoleglego i szeregowego zlo_zonych z k z_ arowek? Podac przyklady innych zmiennych okreslonych na tej przestrzeni. 3. Samoch od porusza sie po trasie, na ktorej znajduja sie 4 sygnaly swietlne, dzialajace niezale_znie od siebie. Ka_zdy z nich zatrzymuje lub przepuszcza samochod z prawdopodobienstwem p = 21 . Niech X oznacza liczbe sygnalow minietych przez samochod do momentu pierwszego zatrzymania. Znalezc rozklad zmiennej losowej X i narysowac jej dystrybuante. 1.