Egzamin z Procesów Stochastycznych z roku 2005 lub 2006

Procesy stochastyczne — lista 6
Zad. 1. Dane są następujące funkcje, określone na przedziale Ω = [0, 1]
(
X0 ≡ 0,
(
X2 (ω) =
X1 (ω) =
1
dla ω ∈ [0, 41 ] ∪ ( 12 , 43 ]
−1 dla ω ∈ ( 14 , 12 ] ∪ ( 34 , 1]
1
dla ω ∈ [0, 21 ]
−1 dla ω ∈ ( 12 , 1]
(
X3 (ω) =
1
dla ω ∈ [0, 18 ] ∪ ( 28 , 38 ] ∪ ( 48 , 58 ] ∪ ( 68 , 87 ]
−1 dla ω ∈ ( 18 , 28 ] ∪ ( 38 , 84 ] ∪ ( 85 , 68 ] ∪ ( 78 , 1]
a) Opisać σ-ciała: F0 = σ(X0 ), F1 = σ(X0 , X1 ) oraz F2 = σ(X0 , X1 , X2 ).
b) Obliczyć E(X1 |F0 ), E(X2 |F1 ) oraz E(X1 + X2 |F1 ).
c) Niech Sk = X0 +X1 +...+Xk dla k = 0, 1, 2, 3 i niech F3 = σ(X0 , X1 , X2 , X3 ). Czy ciąg (S0 , S1 , S2 , S3 )
jest martyngałem względem ciągu σ-ciał (F0 , F1 , F2 , F3 )?
Zad. 2. Niech X1 , X2 , ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie: P (Xi = 1) =
p, P (Xi = −1) = 1 − p, przy czym
p 6= 21 , 1.Określmy Sn = X1 + ... + Xn oraz Fn = σ(X1 , X2 , ..., Xn ).
Sprawdzić rachunkiem, że ciąg
Sn
q
p
∞
, Fn
jest martyngałem.
n=1
Egzamin z Procesów Stochastycznych z roku 2005 lub 2006
1. Wykonujemy nieskończoną serię doświadczeń Bernoulliego. Przyjmijmy, że w chwili n układ jest w
stanie S jeśli doświadczenia o numerach n−1 i n dały sukcesy, oraz w stanie P w przeciwnym przypadku.
a) Zbadać, czy ten proces jest łańcuchem Markowa i uzasadnić odpowiedź.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia po wykonaniu n doświadczeń układ będzie w stanie P.
0 31 0 32


 1 0 0 0 


2. Dana jest macierz przejścia w jednym kroku łańcucha Markowa:  1 1
1  Uzasadnić, że ten
 2 3 0 6 
0 12 21 0
łańcuch jest ergodyczny i obliczyć rozkład stacjonarny.


3. Załóżmy, że cząstki mogą tylko znikać i niech prawdopodobieństwo tego, że konkretna cząstka zniknie
w przedziale czasu (t, t + h) wynosi µh + o(h). Na początku (czyli w chwili t = 0) mamy 2 cząstki.
Zapisać równania opisujące ten proces i obliczyć P (X(t) = 1).
4. Autobusy przyjeżdżają na przystanek zgodnie z procesem Poissona X(t) o intensywności λ, gdzie czas
t liczymy w godzinach. Oczekiwana liczba autobusów przyjeżdżających w ciągu 15 minut jest równa 1.
a) Obliczyć λ.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny przyjadą co najmniej 2 autobusy pod warunkiem, że w ciągu początkowych 30 minut przyjedzie dokładnie jeden autobus.
5. Niech W (t) bȩdzie procesem Wienera.
a) Obliczyć E(W ( 12 )W ( 34 )).
b) Dla 0 ¬ t ¬ 1 określamy Z(t) = W (t) − tW (1). Obliczyć P (Z(1/4) > 1).
Zadania na wyższą ocenę:
6. Niech X1 , X2 , ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie: P (Xi = −1) =
P (Xi = 1) = 21 . Oznaczmy Sn = X1 + X2 + ... + Xn .
a) Obliczyć warunkową wartość oczekiwaną
E(eSn+1 |σ(X1 , X2 , ..., Xn )).
b) Znaleźć takie stałe cn , aby ciąg (eSn −cn , σ(X1 , X2 , ..., Xn )) był martyngałem.
"
7. Podać warunki konieczne i wystarczające na to, aby macierz
w dwóch krokach pewnego łańcucha Markowa.
α
1−α
1−β
β
#
była macierzą przejścia