7. Estymacja przedziałowa Zadanie 1. Niech X 1,...,Xn będzie próbą

7. Estymacja przedziałowa
Zadanie 1. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu N (µ, σ02 ), gdzie
σ0 > 0 jest znane. Skonstruuj najkrótszy 100(1 − α)% przedział ufności dla parametru µ.
Zadanie 2. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu U (0, θ), θ > 0.
Zbuduj najkrótszy przedział ufności dla θ na poziomie ufności 1 − α, dla ustalonego α.
Zadanie 3. Niech
X1 , . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu ujemnego wykład1
niczego E µ, σ o dystrybuancie
x−µ
Fµ,σ (x) = 1 − exp −
, x > µ.
σ
Wiadomo, że zmienne losowe X1:n i
n
P
(Xi − X1:n ) są niezależne, oraz, że
i=1
n
X
1
(Xi − X1:n ) ∼ Γ n − 1,
.
σ
i=1
Znajdź estymator przedziałowy na poziomie ufności 1 − α dla parametru σ.
Zadanie 4. Niech X = (X1 , . . . , Xm ) i Y = (Y1 , . . . , Yn ) będą dwiema niezależnymi
2
) i N (µY , σY2 ) odpowiednio. Podać przedział ufności na
próbami z rozkładów N (µX , σX
2
poziomie ufności 1 − α dla σX
/σY2 , przy założeniu, że parametry µX i µY nie są znane.
Zadanie 5. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu Poiss(λ). Korzystając z zadania 5.2 wyznacz asymptotyczny przedział ufności dla parametru λ na poziomie
ufności 1 − α.
Zadanie 6 (3.5.8). Skonstruować asymptotyczny przedział ufności dla prawdopodobieństwa sukcesu θ w schemacie Bernoullego metodą stabilizacji wariancji.