Wstęp do statystyki matematycznej Lista 6 1. Mówimy, że zmienna

Wstęp do statystyki matematycznej
Lista 6
1. Mówimy, że zmienna losowa Yn ma rozkład chi-kwadrat χ2 (n), jeżeli Yn = X12 +
...+Xn2 , gdzie X1 , ..., Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym
rozkładzie normalnym N (0, 1).
(a) Uzasadnić, że dla dużych n, zmienna losowa Yn ma w przybliżeniu rozkład
normalny N (n, 2n).
(b) Wykorzystując punkt (a), podać asymptotyczny, dla dużych rozmiarów
próby, przedział ufności dla wariancji σ 2 rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ) w
przypadku, gdy µ nie jest znane.
(c) W praktyce stosuje się lepsze przybliżenie niż to z punktu (a). Mianowicie
wykorzystuje się nastepującą aproksymację:
s
9n
2
"
Yn
n
1/3
#
2
−1−
≈ N (0, 1).
9(n − 1)
Powtórzyć punkt (b) wykorzystując powyższą aproksymację.
2. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu Poissona P(λ).
√
√ √
(a) Uzasadnić, że 2 n( X̄ − λ) ma w przybliżeniu standardowy rozkład
normalny N (0, 1).
(b) Wykorzystując punkt (a), podać asymptotyczny przedział ufności na poziomie ufności 1 − α dla parametry λ.
3. Niech X = (X1 , ..., Xm ) i Y = (Y1 , ..., Yn ) będą dwiema niezależnymi próbami
2
z rozkładów N (µX , σX
) i N (µY , σY2 ) odpowiednio. Podać przedział ufności na
2
poziomie ufności 1 − α dla σX
/σY2 w przypadku, gdy parametry µX i µY są
znane i w przypadku, gdy nie są one znane.
4. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu N (µ, 9). Wyznaczyć najmniejsze n takie, że
P (X̄ − 1 < µ < X̄ + 1) ­ 0.9.
5. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu N (µ, σ 2 ), gdzie σ jest znane, a
µ jest nieznanym parametrem. Przedział ufności dla parametru µ na poziomie
ufności 1 − α można otrzymać rozwiązując nierówność
z(α1 ) ¬
X̄ − µ √
n ¬ z(1 − α2 ),
σ
gdzie z(q) (q = α1 lub q = 1 − α2 ) oznacza kwantyl rzędu q rozkładu normalnego N (0, 1), α1 + α2 = α. Pokazać, że najkrótszy przedział, na zadanym
poziomie ufności 1−α, w klasie przedziałów ufności otrzymanych z rozwiązania
powyższej nierówności, otrzymamy biorąc α1 = α2 = α/2.
6. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu N (µ, σ 2 ), gdzie µ i σ nie są
znane. Wyznaczyć klasę przedziałów ufności dla parametru σ 2 , na poziomie
ufności 1 − α, otrzymanych z następującej funkcji centralnej dla parametru σ 2
Q(X, σ 2 ) = (n − 1)S 2 /σ 2 .
Następnie w tej klasie znaleźć przedział ufności, którego oczekiwana długość
jest najmniejsza.
7. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu dwumianowego B(1, p), gdzie
p ∈ (0, 1) jest nieznanym parametrem. Skonstruować przedział ufności dla
parametru p, na poziomie ufności 1 − α, w oparciu o
(a) nierówność Hoeffdinga dla rozkładu dwumianowego, mianowicie
P (|X̄ − p| ­ ) ¬ 2 exp(−2n2 )
(b) nierówność Bernsteina dla rozkładu dwumianowego, mianowicie
"
#
n2
.
P (|X̄ − p| ­ ) ¬ 2 exp −
2(p + )
Porównać oczekiwane długości przedziałów otrzymanych w punkcie (a) i (b).