INTERFEROMETRIA

INTERFEROMETRIA
1 Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem interferencji, możliwością jego
wykorzystania w technikach pomiarowych oraz zaznajomienie się z budową i justowaniem
podstawowych typów układów interferometrycznych. Treścią ćwiczenia jest interferencyjna
metoda kodowania informacji o badanym zjawisku w obrazie prążkowym i dekodowanie tej
informacji z wykorzystaniem fazowych, automatycznych metod analizy interferogramów.
2 Wiadomości ogólne
Interferometria klasyczna
Interferometria której podstawy związane są z fundamentalnymi pracami I.Newtona,
T.Young’a, A.J.Fresnela, A.A.Michelsona i innych wielkich naukowców, stanowi jedną z
najważniejszych dziedzin w optyce. Za ojca interferometrii tj. techniki pomiarowej bazującej
na zjawisku interferencji światła uważa się Michelsona polskiego pochodzenia naukowca
amerykańskiego (1907r. – nagroda Nobla). Jeden z jego interferometrów (nazwany w
literaturze jego nazwiskiem), zmodyfikowany w 1916r. przez F.Twymana i A.Greena stał się
jednym z najczęściej wykorzystywanych układów pomiarowych w metrologii optycznej.
Innymi, do dzisiaj stosowanymi układami interferometrycznymi są: interferometr Fizeau
(1862), Macha-Zehndera (1891), Fabry-Perrot (1899), interferometr „shearingowy” Batesa
(1946) i inne których nie sposób tu wyliczyć. Opracowane na przełomie XIX i XX wieku
interferometryczne techniki pomiarowe oraz układy interferometrów, zwane dzisiaj układami
klasycznymi, były podstawą do dalszych modyfikacji oraz opracowywania nowych
systemów interferometrycznych, szczególnie po wynalezieniu lasera (lata sześćdziesiąte
ubiegłego wieku).
Interferometry można podzielić na dwuwiązkowe z jedno, dwu i wielokrotnym przejściem
wiązki światła przez badany obiekt oraz interferometry wielopromieniowe. Klasyczne układy
interferometrów dwuwiązkowych można podzielić dalej na układy z wiązką odniesienia oraz
interferometry z rozdwojeniem czoła fali. W pierwszym przypadku badane zaburzenie
optyczne podlega interferencji ze specjalnie w tym celu wytworzoną wzorcową falą
odniesienia. W drugim przypadku fala przedmiotowa podlega interferencji ze swoją własną
repliką. Podstawową zaletą pierwszej z tych metod jest łatwość interpretacji otrzymywanych
interferogramów. Jeżeli zastosuje się płaską falę odniesienia, to uzyskane prążki
interferencyjne są warstwicami badanego czoła fali, a zatem interferogram jest mapą
badanego rozkładu fazowego. Podstawową wadą tej metody są techniczne trudności związane
z realizacją fali idealnie płaskiej. Trudności tych unika się w przypadku drugiej z metod,
nazywanej także metodą rozdwojenia czoła fali. W tym przypadku trzeba wytworzyć kopię
badanego czoła fali, a następnie poddać ją geometrycznej transformacji. Transformacja taka w
najprostszym przypadku polega na liniowym, poprzecznym przesunięciu repliki czoła fali.
Jest to przypadek interferometrii z tzw. poprzecznym rozdwojeniem czoła fali. Pozostałe, na
ogół rzadziej stosowane możliwości polegają na rotacyjnym, radialnym i rewersyjnym
rozdwojeniu czoła fali.
Interferencja dwóch fal
O wrażeniu świetlnym odbieranym przez detektor decyduje natężenie światła I
(intensywność) proporcjonalne do kwadratu amplitudy a składowych ruchów harmonicznych
opisujących falę świetlną. Jeżeli a1 i a2 są amplitudami składowych ruchów harmonicznych
fal świetlnych wychodzących z punktów P1 i P2 (rys.1), to:
a 2 = a12 + a 22 + 2a1a 2 cos(γ 1 − γ 2 )
lub operując intensywnościami:
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos(γ 1 − γ 2 )
(1)
gdzie γ1 – γ2 oznacza różnice faz między dwiema falami.
P1
L1
A
L2
P2
Rys.1. Interferencja fal generowanych przez dwa źródła punktowe
W dowolnym punkcie przestrzeni A fazy fal można opisać zależnościami:
γ 1 = 2π
L1
λ
,
γ 2 = 2π
L2
λ
(2)
L1, L2 – drogi optyczne L = nd
n
– współczynnik załamania ośrodka
d
– droga geometryczna
λ
– długość fali świetlnej.
Z podstawienia (2) do (1) otrzymuje się równanie interferencji opisujące intensywność IA
w dowolnie wybranym punkcie A przestrzeni, w zależności od intensywności składowych fal
I1, I2, różnicy dróg optycznych L przy określonej długości fali świetlnej, to znaczy:
gdzie:
I A = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos
2π∆L
λ
.
(3)
Wielkość m = ∆L/λ nazywa się rzędem interferencji. Maksymalną intensywność
I A max = I1 + I 2 + 2 I1 I 2
otrzymuje się dla m = 0, 1, 2, 3, ..., a minimalną
I A min = I1 + I 2 − 2 I1 I 2 dla m = 1/2, 3/2, 5/2, ...
Zbiór punktów przestrzeni o maksymalnej intensywności tworzy jasne prążki interferencyjne,
natomiast ciemne – zbiór punktów o najmniejszej intensywności.
Jeżeli fale wychodzą z różnych źródeł, lub nawet z różnych punktów tego samego źródła,
to z uwagi na spontaniczność emisji, ich fazy będą się zmieniać niezależnie. Ponieważ
częstotliwość drgań w zakresie widzialnym przekracza 1012 Hz, to odbiornik zarejestruje
wartość średnią. Średnia wartość wielkości zmieniających się niezależnie jest równa zeru,
stąd cos(γ1 – γ2) = 0 i zgodnie z zależnością (1) nie zaobserwuje się zjawiska interferencji
(prążków interferencyjnych). Stąd wniosek, że podstawowym warunkiem zaobserwowania
zjawiska interferencji, a zarazem jego praktycznego wykorzystania do pomiarów, jest
uzgodnienie faz obu fal. Jest to możliwe wtedy, gdy obie fale wychodzą z tego samego
punktu źródła.
W rzeczywistych warunkach każde źródło ma skończone wymiary oraz emituje fale o
określonym składzie widmowym co wpływa na widoczność prążków interferencyjnych. W
celu określenia widoczności prążków wprowadza się pojęcie kontrastu prążków,
definiowanego jako:
C=
I A max − I A min 2 I1 I 2
=
.
I A max + I A min I1 + I 2
(4)
Maksymalny kontrast (C = 1) można otrzymać tylko przy jednakowych intensywnościach
interferujących fal (I1=I2).
Jeżeli źródło światła wysyła promieniowanie w przedziale długości fal ∆λ, to można
wykazać, że kontrast C = sincπ∆m, gdzie ∆m = m0(∆λ/λ). Dla utrzymania kontrastu na
określonym poziomie (wymaganym np. przez metody automatycznej analizy obrazów
prążkowych AAOP) ze wzrostem ∆λ należy zmniejszać m0. Maleje więc dopuszczalna
różnica dróg optycznych. Przykładowo dla światła białego wynosi ona kilka µm, dla
czerwonej linii kadmu kilkanaście mm, a dla światła laserowego nawet kilka metrów.
Interferencja w płytce. Interferometr Fizeau
Rozpatrzmy płytkę powietrzną z niewielkim klinem (rys.2a) oświetloną punktowym i
monochromatycznym źródłem światła P. Zjawisko interferencji w punkcie A można
rozważyć biorąc pod uwagę dwa wtórne źródła światła P1 i P2. Jeżeli chcemy, aby kształt
prążków interferencyjnych nie zależał od wzajemnego położenia klina i źródła światła,
konieczne jest odsunięcie tego źródła do nieskończoności. Wówczas wtórne źródła P’1 i P’2
znajdują się również w nieskończoności, a zatem w punkcie A zachodzi interferencja dwóch
fal płaskich, nachylonych względem siebie o kąt 2φ. W wyniku interferencji tych fal powstaje
układ prostoliniowych prążków interferencyjnych równoległych do krawędzi klina o okresie
d pr =
λ
2 sin ϕ
.
(5)
Prążki te tworzą zbiór warstwic pojawiających się periodycznie w miarę jak grubość klina
zwiększa się o λ/2. Są to tzw. prążki jednakowej grubości.
P’1
P
2
P
1
i’
i
P’2
n
A
A
a)
ϕ
b)
h
Rys.2 Interferencja w płytkach: a) powietrznej, b) szklanej
Podobne zjawisko obserwuje się w klinowej płytce szklanej (rys.2b). Promienie odbite od
obu powierzchni płytki interferują i tworzą układ prążków. Przy założeniu, że kąt klina jest
niewielki, ciemne prążki powstaną w miejscach, gdzie różnica dróg optycznych wynosi:
∆L = 2nh cos i '+
λ
2
= (2 K + 1)
λ
, K = 0, ±1, ±2, ...
2
(6)
Gdzie n jest współczynnikiem załamania materiału płytki, a h jej grubością. Wartość 0.5λ
dodano z uwagi na skok fazy na granicy dwóch ośrodków.
Przy małym h (rząd interferencji m < kilku λ) kąt i’ ma mały wpływ na wynik
interferencji. Ponadto przy niskich rzędach interferencji na kontrast prążków ma także mały
wpływ monochromatyczność źródła światła. Można obserwować interferencję w świetle
białym. Każda długość fali daje własny układ prążków, co objawia się barwnymi prążkami
interferencyjnymi. W przypadku grubych płytek (wyższe rzędy interferencji) wymagane jest
zastosowanie monochromatycznego źródła światła oraz ustalenie kąta padania promieni i.
Zachowanie wymienionych warunków umożliwia układ autokolimacyjny zwany w
literaturze pod nazwą interferometru Fizeau (rys.3). Źródło światła (o wysokim stopniu
monochromatyczności) przez przysłonę otworkową, umieszczoną w ognisku obiektywu,
oświetla równoległą wiązką promieni płytkę szklaną lub powietrzną (warstwa powietrza
pomiędzy dwoma płytkami). Promienie odbite od powierzchni płytki i płytki światłodzielącej
tworzą układ prążków interferencyjnych obserwowanych okiem, lub kamerą CCD.
Obserwowany rozkład intensywności można opisać równaniem:
I ( x, y ) = a + b cos φ ( x, y ) ,
gdzie a = I1 + I2 nazywa się tłem, b =
I1 I 2 – modulacją kontrastu, a Φ =
(7)
2π∆L
λ
– fazą
interferogramu (patrz równanie 3).
monochromatyczne
źródło światła
przysłona otworkowa
FOB
płytka światłodzieląca
F’OB
obiektyw
powierzchnie
wzorcowe
Rys.3 Schemat interferometru Fizeau
Ponieważ w układzie interferometru Fizeau kąt padania wiązki oświetlającej i jest bliski zeru,
to po pominięciu nieistotnego do dalszej analizy stałego składnika λ/2 ze wzoru (6) fazę Φ
można zapisać w postaci:
φ ( x, y ) =
2π
λ
2 h ( x, y ) n ( x, y )
(8)
Oznacza to, że w fazie interferogramu (kształcie prążków) zakodowana jest informacja o
zmianach grubości h i współczynnika załamania n badanej płytki.
Gdy powierzchnie płytki są płaskie to h(x,y) = h0 = const i faza φ zależy tylko od rozkładu
współczynnika załamania n(x,y) = n0 + ∆n. Oznacza to, że za pomocą interferometru Fizeau
można mierzyć rozkład współczynnika załamania w materiałach optycznych. Ponieważ w
ogólnym przypadku nie mierzy się absolutnego rzędu interferencji, to wyznaczona poprzez
analizę interferogramu faza niesie informację o zmianach współczynnika załamania ∆n, a
zwykle tylko o części nieliniowej tych zmian (niejednorodności).
W przypadku płytki powietrznej (n = 1) utworzonej przez dwie płytki szklane (rys. 2a)
φ zależy tylko od zmian odległości pomiędzy tymi płytkami:
faza
h( x, y ) = h0 + [ w1 ( x, y ) + w2 ( x, y )] , gdzie w1(x,y) i w2(x,y) są funkcjami opisującymi kształt
powierzchni S i T płytek, a h0 – odległością pomiędzy tymi powierzchniami. Analogicznie jak
w poprzednim przypadku, odtworzona z interferogramu faza zawierać będzie informację o
zmianach kształtu płytek ∆w = [w1(x,y) + w2(x,y)]. Gdy dodatkowo jedna z powierzchni,
zwana wzorcową, będzie płaska (np. w1(x,y) = 0), to otrzyma się informację tylko o kształcie
w2(x,y) badanej powierzchni T.
Za pomocą interferometru Fizeau można także mierzyć odchyłkę kształtu powierzchni
sferycznych, a także aberracje (deformacje czoła fali) obiektywów.
Analiza interferogramów
Analizę obrazów prążkowych (AAOP) dokonuje się metodą konwersji sinusoidalnych
zmian sygnału w przestrzeni opisanych równaniem (7). Nieznana faza Φ(x,y) musi być
odzyskana z równania, mimo iż jest ekranowana przez funkcje a i b. Dodatkowo mierzona
intensywność zależy okresowo od fazy co powoduje następujące problemy:
- faza określona jest w formie mod(2π),
- ze względu na parzysty charakter funkcji cosΦ, znak fazy Φ nie może być wyznaczony z
pojedynczego pomiaru bez pewnej wiedzy "a priori" o badanej wielkości.
Dekodowanie funkcji fazy z interferogramu może być realizowane metodami
intensywnościowymi lub fazowymi. W metodach intensywnościowych wyznaczane są
ekstrema prążków, które następnie są numerowane na podstawie wiedzy "a priori" o badanym
zjawisku. Metody te nie nadają się do automatyzacji dla większości typów interferogramów.
Ponadto cechują się stosunkowo niską dokładnością odtworzenia fazy (rzędu 1/10 prążka) i
długim czasem analizy.
Metody fazowe, które bazują na technikach detekcji synchronicznej dla pomiaru fazy i
amplitudy pozwalają na jednoznaczne i automatyczne rozwiązanie problemu znaku fazy i
eliminacji interwencji operatora oraz podwyższenie dokładności wyznaczenia fazy (do 1/100
prążka). Metody fazowe można podzielić na dwie podstawowe grupy: czasowe i przestrzenne.
Możliwość ich wdrożenia w systemie pomiarowym zależy przede wszystkim od właściwej
modyfikacji (zaprojektowania) obrazu prążkowego (wprowadzenie odpowiedniej częstości i
kierunku prążków oraz kontrolowanej zmiany fazy).
Jedną z metod software'owych (nieelektronicznych) automatycznej analizy obrazów
prążkowych jest metoda wykorzystująca przekształcenie Fouriera.
Wymaga ona
zmodyfikowania interferogramu poprzez dodanie częstości nośnej f0 spełniającej warunek f0 >
max(grad Φ). Obraz prążkowy jest wtedy opisany równaniem:
I ( x, y ) = a ( x, y ) + b( x, y ) cos[φ ( x, y ) + 2πf 0 x] .
(10)
W równaniu tym przyjęto dodatkowo, w porównaniu z równaniem (4.7), że tło a(x,y) i
modulacja kontrastu b(x,y) nie są stałe w polu widzenia interferometru.
Równanie (4.9) można również przedstawić w postaci dogodniejszej do analiz, tzn.:
I ( x, y ) = a ( x, y ) + c( x, y ) exp(i 2πf 0 x) + c * ( x, y ) exp(i 2πf 0 x)
(11)
gdzie c(x,y) =1/2 b(x, y)exp[iΦ(x,y)], c* - jest wielkością sprzężoną z c.
Po dokonaniu dwuwymiarowej transformaty Fouriera funkcji intensywności opisanej wzorem
(10) uzyskuje się:
I F ( f x , f y ) = A( f x , f y ) + C ( f x − f 0 , f y ) + C * ( f x + f 0 , f y )
(12)
gdzie IF, A, C i C* są transformatami Fouriera odpowiednio funkcji I, a, c i c*.
Graficzna reprezentacja powyższego równania jest przedstawiona na rys.7.
a)
b)
Rys.7. Przykładowy interferogram z częstością nośną (a) oraz jego widmo Fouriera z zaznaczonym
filtrem pasmowym (b)
Następnie człon widma reprezentujący poszukiwaną fazę C(fx-f0x, fy) jest filtrowany przez
filtr pasmowy odcinający człon reprezentujący tło A(fx,fy) oraz C*(fx+f0x,fy). Dzięki liniowej
filtracji eliminowany jest wpływ tła oraz większości szumów wysokoczęstotliwościowych.
Człon informacyjny widma przesuwany jest do początku układu współrzędnych, aby usunąć
wprowadzoną uprzednio częstość nośną fox. Stosując odwrotną transformatę Fouriera funkcji
C(fx,fy) obliczana jest funkcja c(x,y) i faza odtwarzana jest z zależności:
φ ( x, y ) = arctan
Im[c( x, y )]
Re[c( x, y )]
(13)
Metoda transformaty Fouriera bazuje na globalnej, a nie punktowej analizie fazy i z tego
powodu przy niewłaściwej realizacji może spowodować błędne jej odtworzenie:
− niewłaściwy dobór okna filtracji może usunąć informację o dużych gradientach fazy lub
zmodyfikować fazę poprzez przepuszczenie częstości należących do funkcji tła lub
wyższych harmonicznych sygnału,
− kształt okna filtrującego (zwłaszcza ostre odcięcie) powoduje znaczny przepływ energii
między pikselami w dziedzinie obrazu, co daje duże błędy fazy przy brzegach
(nieciąłościach) dziedziny.
Z drugiej strony FTM stwarza możliwości uzyskania gładkiej funkcji fazy bez dodatkowych
filtracji na obrazie lub wynikowej fazie. Również odpowiednia filtracja pasmowa umożliwia
wydzielenie składowych informacji ze złożonego interferogramu.
Inną metodą automatycznej analizy interferogramów jest metoda dyskretnej zmiany
fazy z częstością nośną. Podobnie jak w metodzie z wykorzystaniem analizy fourierowsiej
wymaga ona zmodyfikowania interferogramu (równanie 10) poprzez wprowadzenie częstości
nośnej f0 spełniającej warunek f0 = M/4, gdzie M jest rozdzielczością matrycy CCD. Faza
wyznaczana jest wtedy na podstawie tzw. pięciointensywnościowego algorytmu DZF:
φ (x, y ) =
 4[I(x − 1, y ) − I(x + 1, y )]2 − [I(x − 2, y ) − I(x + 2, y )]2
λ
arctan 
2π
2I(x, y ) − I(x − 2, y ) − I(x + 2, y )




(14)
gdzie I(x+i,y) oznacza sekwencję intensywności dla i-tych pikseli (i = -2, -1, 0, 1, 2) w oknie
próbkowania.
Zaletą metody dyskretnej zmiany fazy z częstością nośną jest możliwość analizy
nieciągłych obszarów, wadą duża wrażliwość na szumy.
3. Przebieg ćwiczenia
a) Wyjustować układ pomiarowy do pola jednorodnego (częstość nośna f0 = 0). W tym
celu doprowadzić do pokrycia się plamek obserwowanych okiem w obiektywie. Po
usunięciu ekranu na monitorze TV powinny być widoczne prążki interferencyjne.
b) Zaobserwować i zinterpretować zmiany obserwowanego rozkładu intensywności po
umieszczeniu pomiędzy płytkami obiektu o innej niż otoczenie temperaturze np. dłoni.
c) Pochylając za pomocą śrub justujących stolik przedmiotowy wprowadzić prążki o
częstości przestrzennej f0x = 0.25 l/mm (indeks x oznacza, że prążki powinny być
prostopadłe do osi X). Korzystając z równania (5) obliczyć wielkość klina
powietrznego pomiędzy płytkami.
d) Zapoznać się z instrukcją obsługi programu FRINGE APPLICATION i korzystając z
opcji FFT przeanalizować uzyskany interferogram. Korzystając z równań (6 i 8) oraz
zakładając, że współczynnik załamania powietrza jest stały i równy jedności,
zinterpretować otrzymany wynik.
e) Pomiar niepłaskości wskazanego elementu mechanicznego na warsztatowym
interferometrze IL200. W tym celu, po zapoznaniu się z instrukcją obsługi
interferometru, zarejestrować interferogram z częstością nośną i korzystając z opcji
SCPS programu FRINGE APPLICATION wyznaczyć kształt powierzchni badanego
elementu.
4.4 Literatura uzupełniająca
1. R.Jóźwicki, Optyka instrumentalna,
2. D.W.Robinson, G.T.Reid, Interferogram analysis: Digital Fringe Pattern
Measurement Techniques, Institute of Physics Publ., Bristol and Philadelphia, 1993
3. Fringe Application – instrukcja obsługi
4. IL200 – instrukcja obsługi