PRÓBKOWANIE RÓWNOMIERNE

CPS
1
2006/2007
PRÓBKOWANIE RÓWNOMIERNE
Próbkowanie równomierne, jest procesem konwersji sygnału analogowego (o czasie
ciągłym) do postaci próbek pobieranych w równych odstępach czasu. Próbkowanie
przeprowadza się poprzez podanie na wejście przetwornika analogowo-cyfrowego (A/C)
sygnału ciągłego. Na jego wyjściu otrzymuje się ciąg wartości liczbowych.
U
U
Sygnał analogowy można próbkować z dowolną szybkością. Należy sobie jednak zadać
pytanie, na ile dobrze te wartości reprezentują sygnał oryginalny. Odpowiedź na to pytanie daje
teoria próbkowania.
U
Proces konwersji analogowo-cyfrowej można podzielić na trzy podstawowe etapy:
U
• filtrowanie antyaliasingowe
• próbkowanie
• pamiętanie
przetwornik A/C
filtr
antyaliasingowy
wejściowy
sygnał
analogowy
próbkowanie
przefiltrowany
sygnał
analogowy
sygnał
dyskretny
pamiętanie
sygnał
cyfrowy
CPS
2
2006/2007
Filtrowanie antyaliasingowe
U
Widmo rzeczywistych sygnałów jest ze względu na zniekształcenia i szumy bardzo
szerokie. Filtrowanie antyalisingowe, dolnoprzepustowym filtrem analogowym stosowane jest
w celu ograniczenia szerokości widma rzeczywistego sygnału.
Zastosowanie tego typu filtracji ma na celu zapobieżenie zjawisku nakładania się widm
powstających w wyniku ich powielania podczas wykonywania próbkowania sygnału.
sygnał
szum
szum
f
-B
B
f
-2fp
-fp
-B
0
B
fp
2fp
Na rys. pokazano widmo ciągłe sygnału o szerokości pasma B zawierającego szum oraz
efekt nakładania się widm sygnału i szumu w wyniku próbkowania przebiegu. Taki efekt
zniekształcenia widma występuje w wyniku braku filtru antyaliasingowego.
U
U
CPS
3
2006/2007
charakterystyka filtru
antyaliasingowego
szum
szum
f
-B
B
f
-2fp
-fp
-B
0
B
fp
2fp
Rysunek przedstawia przypadek zastosowania filtru analogowego dolnoprzepustowego o
częstotliwości odcięcia równej B przy częstotliwości próbkowania f p.
B
Zastosowanie filtru analogowego dolnoprzepustowego pozwala unikać nakładania się
widm.
U
Próbkowanie :
U
Pytanie:
Czy znając jedynie zbiór próbek sygnału f[n] : n=...,-2,-1,0,1,2,3,... oddalonych o
przedział próbkowania T p możemy dokładnie odtworzyć sygnał analogowy ?
B
B
Inaczej mówiąc czy dysponujemy informacją o zachowaniu się sygnału między danymi
próbkami ?
CPS
4
2006/2007
Odpowiedź:
W ogólnym przepadku NIE ! (jest to oczywiste)
Ale:
U
Jeżeli jednak sygnał próbkowany spełniałby pewien dodatkowy warunek odpowiedź
może brzmieć TAK!
Ten dodatkowy warunek dotyczy szybkości zmian przebiegu, który jeżeli analizujemy
sygnał w dziedzinie częstotliwości jest związany z szerokością pasma sygnału.
Jeżeli sygnał nie może się szybko zmieniać to znaczy, że nie zawiera składowych o
dużych częstotliwościach powyżej częstotliwości B, sygnał ma ograniczone pasmo.
W praktyce termin sygnał o ograniczonym paśmie oznacza jedynie to, że energia
zawarta w sygnale poza zakresem ±B jest poniżej czułości naszego systemu.
Widmo
amplitudowe
f
-B
B
CPS
5
2006/2007
Twierdzenie o próbkowaniu (Shannona)
U
Niech f(t) będzie sygnałem ciągłym, którego widmo spełnia warunek
ograniczonego pasma 1 :
TPF
FPT
F ( jω ) = 0 dla ω ≥ 2π B
Zgodnie z kryterium Nyquista, sygnał f(t) można odtworzyć z pełną
dokładnością z jego próbek gdy częstotliwość próbkowania spełnia zależność:
f p ≥ 2B
ω p ≥ 4π B
Częstotliwość B wyznacza szerokość widma sygnału i nazywa się częstotliwością
Nyquista.
Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek
przedstawiono na wykresach
Rozpatrzymy trzy różne przypadki wyboru częstotliwości próbkowania:
•
f p = 2B
•
f p > 2B
•
f p < 2B
Ostatni przypadek jest niezgodny z twierdzeniem o próbkowaniu . Z tak wybranych
próbek nie można odtworzyć oryginalnego sygnału analogowego. Przyczyną jest nakładanie się
powielanych widm i ich nieodwracalne zniekształcenie.
U
1
TP
PT
Widmo nie zawiera dystrybucji w punktach ±B
U
CPS
f p = 2B
6
2006/2007
Jest to przypadek graniczny. Powielane widma „stykają się” ze sobą.
f(t)
⎛ω ⎞
F⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
f
t
0
0
d(t)
⎛ω ⎞
D⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
2π
1
f
t
0
f p = 2B
Tp
f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t )
0
2B
fp
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
F *⎜
⎟ = F⎜
⎟ ∗ D⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
f
t
0
0
fp
h(t)
1
-2Tp
-3Tp
2Tp
0
-Tp
Tp
⎛ω ⎞
H⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
f
t
3Tp
-B
f (t ) = h(t ) ∗ f * (t )
0B
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
F⎜
⎟ = H⎜
⎟ ⋅ F *⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
f
t
0
0
Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla
f p = 2B
CPS
f p > 2B
7
2006/2007
Powielane widma są rozłączne.
f(t)
⎛ω ⎞
F⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
f
t
0
0
2B
d(t)
2π
1
⎛ω ⎞
D⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
f
t
2B
0
0
f p > 2B
Tp
fp
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
F *⎜
⎟ = F⎜
⎟ ∗ D⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t )
f
t
0
0
fp
⎛ω ⎞
H⎜
⎟
2π ⎠
⎝
1
h(t)
-2Tp
-3Tp
2Tp
0
-Tp
Tp
f
t
3Tp
-B
f (t ) = h(t ) ∗ f * (t )
0
B
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
F⎜
⎟ = H⎜
⎟ ⋅ F *⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
f
t
0
0
Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla
f p > 2B
CPS
f p < 2B
8
2006/2007
Widma nakładają się.
f(t)
⎛ω ⎞
F⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
f
t
0
0
2B
d(t)
⎛ω ⎞
D⎜
⎟
2π ⎝ 2π ⎠
1
f
t
0
f p < 2B
Tp
f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t )
0
2B
fp
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
F *⎜
⎟ = F⎜
⎟ ∗ D⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
f
t
0
0
fp
h(t)
1
-2Tp
-3Tp
2Tp
0
-Tp
Tp
⎛ω ⎞
H⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
f
t
3Tp
-B
f (t ) = h(t ) ∗ f * (t )
0
B
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
F⎜
⎟ = H⎜
⎟ ⋅ F *⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
f
t
0
aliasing
0
Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla
f p < 2B
CPS
9
2006/2007
Przykład:
U
Dany jest ciąg próbek, oraz wiadomo, że reprezentują one wartości
chwilowe pewnego przebiegu sinusoidalnego. Pobrane są w równych
odstępach czasu. Zadanie polega na odtworzeniu przebiegu ( wyznaczeniu
jego parametrów – amplitudy i częstotliwości ).
X[0]
X[1]
X[2]
X[3]
X[4]
X[5]
X[6]
0
0.866
0.866
0
-0.866
-0.866
0
Jeżeli ciąg reprezentuje próbki przebiegu sinusoidalnego to nie można jednoznacznie
określić tego przebiegu jedynie z próbek.
f (t )
0.866
f p = 6 Hz
t
Tp
-0.866
f (t )
1Hz
f p > 2 f1
t
Tp
T1
f (t )
7Hz
f p < 2 f1
t
Tp
T1
CPS
10
2006/2007
Wymagana jest dodatkowa informacja.
Jeżeli założymy, że próbkowanie wykonano zgodnie z kryterium Nyquista, to
oryginalnym przebiegiem jest sinusoida o częstotliwości 1Hz.
Zadanie 1:
U
Ile minimalnie próbek należy pobierać w okresie sygnału sinusoidalnego zgodnie z
twierdzeniem o próbkowaniu ?
Oznaczmy częstotliwość sinusoidy f 1 . Zgodnie z kryterium Nyquista częstotliwość
próbkowania musi być tak wybrana aby spełniony był warunek 2 :
B
B
TPF
FPT
f p > 2 f1
Zatem
fp
T
n= 1 >2
nmin = 3
>2
Tp
f1
Odp: Minimalna liczba próbek, pobierana w okresie sinusoidy wynosi 3. Wtedy można w
sposób jednoznaczny odtworzyć sinusoidę z próbek.
U
U
Zadanie 2:
U
Sygnał ma ograniczone pasmo do B=1000Hz. Jaką minimalną liczbę próbek należy pobierać
w przedziale czasu T=0.02s, aby można było z tych próbek jednoznacznie odtworzyć przebieg?
Zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu
f p ≥ 2B
n=
T1
= T1 f p ≥ T1 2 B
Tp
n ≥ 0.02 ⋅ 2 ⋅ 1000
n ≥ 40
Odp: Minimalna liczba próbek wynosi 40.
2
TP
PT
W tym przypadku ponieważ na granicy pasma pojawia się dystrybucja, wymagana jest ostra nierówność.
CPS
11
2006/2007
Próbkowanie sygnałów pasmowych
U
U
W praktyce często próbkowane są analogowe sygnały pasmowe czyli takie, których
ograniczone pasmo jest skupione wokół pewnej częstotliwości różnej od zera.
Do tego typu sygnałów można z powodzeniem stosować próbkowanie dolnopasmowe,
jednak zastosowanie specjalnej techniki zwanej próbkowaniem pasmowym pozwala znacznie
zmniejszyć koszty realizacji sprzętowej, polegającej na zmniejszeniu szybkości przetwornika
A/C oraz zmniejszeniu pamięci wymaganej do pamiętania wartości próbek.
Jako przykład próbkujmy przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz, skupiony
wokół częstotliwości f c =20kHz.
B
B
Zgodnie z kryterium Nyquista, ponieważ najwyższa składowa częstotliwościowa w
sygnale ma wartość 22,5kHz należy próbkować sygnał z częstotliwością nie mniejszą niż
45kHz.
⎛ω ⎞
F⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
B
=5kHz
f
0
-fc
fc
=20kHz
⎛ω ⎞
F *⎜ ⎟
⎝ 2π ⎠
f p = fc −
B
2
f
-fc
0
fp
fp
fc
fp
=17,5 kHz
fp
Na rysunku pokazano skutki próbkowania tego sygnału z częstotliwością znacznie mniejszą,
równą 17,5 kHz.
Można zauważyć, że mimo mniejszej częstotliwości próbkowania powielenia widma nie
zniekształcają widma oryginalnego skupionego wokół częstotliwości f c .
Unikamy aliasingu. Okazuje się że próbkowanie z częstotliwością 45kHz nie jest konieczne .
B
U
U
U
B
U
CPS
12
2006/2007
Wyprowadzenie ogólnych zależności dotyczące próbkowania pasmowego.
Dany jest ciągły sygnał pasmowy o szerokości pasma B, o częstotliwości nośnej f c .
Próbkujemy ten sygnał z dowolną częstotliwością f p .
B
B
B
B
Maksymalna częstotliwość próbkowania
U
Przy arbitralnej liczbie powieleń widma m w przedziale 2f c -B sygnał można próbkować z
maksymalną częstotliwością f p1 taką że:
B
B
B
B
mf p1 = 2 f c − B
⎛ω ⎞
F⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
2 fc − B
0
-fc
fc
f
fp1
Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2f c -B sygnał można próbkować z
maksymalną częstotliwością f p1,
B
B
f p1 =
2 fc − B
m
B
CPS
13
2006/2007
Minimalna częstotliwość próbkowania
U
Jeżeli szybkość próbkowania zmniejsza się to powielenia przesuwają się i osiągamy
dolną granicę częstotliwości próbkowania f p2 .
B
B
Przy arbitralnej liczbie powieleń widma m w przedziale 2f c +B sygnał można próbkować
z minimalną częstotliwością f p2 taką że:
B
B
B
B
( m + 1) f p 2 = 2 f
+B
c
⎛ω ⎞
F⎜ ⎟
⎝ 2π ⎠
2 fc + B
0
-fc
f
fp2
fc
Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2f c +B sygnał można próbkować z minimalną
częstotliwością f p2,
B
B
B
B
f p2 =
2 fc + B
m +1
W ten sposób otrzymujemy zależność definiującą zakres częstotliwości próbkowania
pasmowego zależną od szerokości pasma sygnału, częstotliwości nośnej i liczby powieleń
2 fc + B
2f −B
≤ fp ≤ c
m +1
m
przy czym m jest dowolną liczbą naturalną zapewniającą spełnianie kryterium Nyquista w
odniesieniu do szerokości pasma sygnału
f p ≥ 2B .
CPS
14
2006/2007
Przykład:
U
Przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej f c =20kHz.
B
m
Minimalna
Maksymalna
f p1 =
B
2 fc − B
m
f p2 =
2 fc + B
m +1
Optymalne f p
B
1
35,0 kHz
22,5 kHz
22,5 kHz
2
17,5 kHz
15,0 kHz
17,5 kHz
3
11,66 kHz
11,25 kHz
11,25 kHz
4
8,75 kHz
9,0 kHz
-
5
7,0 kHz
7,5 kHz
-
B
Jak wynika z tabeli częstotliwość próbkowania nie może być mniejsza niż 11,25kHz.
Za optymalną częstotliwość próbkowania przyjmuje się taką przy której powielenia
widma stykają się ze sobą w punkcie f = 0Hz. Przy tak przyjętej częstotliwości próbkowania
błędy związane dalszym przetwarzaniem cyfrowym (np. filtrowaniem) sygnału są minimalne.
Zdefiniujemy nowy parametr R jako stosunek częstotliwości najwyższej w paśmie
sygnału do szerokości pasma
R=
fc +
B
2
B
Wykreślimy zależność minimalnej częstotliwości próbkowania od parametru R dla różnych
wartości m
CPS
15
( m + 1) f
p2
2006/2007
= 2 fc + B
B
f
+
c
m
f
1
+
(
) p2
2
=
2B
B
( m + 1) f
=R
p2
2B
ozn: f p min = f p 2
f p min
2
R
=
B
( m + 1)
f p min
B
m
=0
4
=1
3
2
m=
m
2,25
2
3
m=
m=4
m=5
R
1
2
3
4 4,5 5
6
7
8
9
Minimalna częstotliwość próbkowania w zależności od R dla różnych wartości m
Z wykresu wynika, że niezależnie od R minimalna częstotliwość próbkowania nie
przekracza 4B i zmniejsza się dążąc do 2B przy zwiększaniu częstotliwości nośnej (wzrost R).
U
U
CPS
16
2006/2007
Wprowadzając na wykresie warunek ograniczający częstotliwość z góry (maksymalną)
otrzymamy obszary częstotliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odpowiednią
wartością parametru m.
mf p1 = 2 f c − B
mf p1
+1 = R
2B
f p1 = f p max
f p max
B
=
2
( R − 1)
m
m
=1
fp
pr
do óbko
l n o wa
pas nie
mo
we
B
6
2
m=
3
m=
4
m=4
2
R
strefa zakazana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Minimalna i maksymalna częstotliwość próbkowania w zależności od R dla różnych wartości
m
Wprawdzie z rysunku wynika, że możemy stosować częstotliwości próbkowania, które
leżą na granicy strefy zakazanej i dozwolonej, jednak w praktycznych zastosowaniach należy
wybierać częstotliwości nieco oddalone od tych granic.
Takie postępowanie pozwala uniknąć np. problemów związanych z niedokładnością
filtrów pasmowych, niestabilnością zegara układu próbkującego itp.
CPS
17
2006/2007
Przykład:
U
Wracając do przebiegu przykładowego o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej
f c =20kHz.
B
B
R=
20 +
5
5
2 = 4.5
Z wykresu można odczytać dla tej wartości R, minimalną akceptowalną częstotliwość
próbkowania. Wynosi ona przy m=3 ( powielenia widma ) 2.25B, czyli 11.25kHz co jest
zgodne z wartością wyznaczoną w tabeli.
Zadanie:
U
Przebieg o szerokości pasma B=200Hz i częstotliwości nośnej f c =1000Hz.
B
B
• Jaką minimalną częstotliwość próbkowania można stosować ?
• Czy można stosować częstotliwość próbkowania f p =400Hz, 1200Hz ?
B
B
• Jak uwzględnić błąd częstotliwości próbkowania związany z niedokładnością zegara ?
Obliczamy parametr R
R=
200
2 = 5.5
200
1000 +
Jak wynika z wykresu dla R=5.5 sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością przy
liczbie powieleń widma m=4.
CPS
18
2006/2007
fp
m
B
1200Hz
=1
2
m=
6
m=
4
3
m=4
450Hz
440Hz
2
strefa zakazana
1
2
3
R
4
5
6
7
8
9
5.5
Częstotliwość minimalna dla m=4 wynosi:
f p min =
f p min 4 =
2 fc + B
m +1
2 ⋅ 1000 + 200
= 440 Hz
4 +1
Częstotliwość maksymalna dla m=4 wynosi:
f p max =
f p max 4 =
2 fc − B
m
2 ⋅ 1000 − 200
= 450
4
Nie jest możliwe próbkowanie z częstotliwością 400Hz, natomiast możliwe 1200Hz.
CPS
19
2006/2007
fp
m
B
=1
2
m=
Δf p 6
3
m=
4
m=4
2
strefa zakazana
1
2
3
R
4
5
ΔB
Uwzględnienie niedokładności próbkowania
Δf p
6
7
8
9
oraz marginesu zmian widma sygnału ΔB