AiRR, Zarządzanie – zadania na ćwiczenia
Transkrypt
AiRR, Zarządzanie – zadania na ćwiczenia
AiRR, Zarządzanie – zadania na ćwiczenia 1. Zbadać z definicji czy funkcje są różniczkowalne we wskazanych punktach: x ) x x − 1 , x1 = 1 oraz x2 = 2; a) f ( = b) f ( x )= x 2 + 4 x + 4 + 2 x, x1 = −2 oraz x2 = 0; 3 x + 2 dla c) f ( x ) = 2 x − 2 dla x ≤ −1 , x1 = −1 oraz x2 = 1; x > −1 2. Korzystając z definicji, wyznaczyć pochodną funkcji we wskazanych punktach: a) f ( x )= x + 3, x0 = −2; b) f ( x= ) x 2 − 4, x0 = 3; c) f ( x ) =x3 + 2 x 2 − x, x0 = 0; d) f ( x ) = e) f = ( x) 2 x −5 , x0 = −1; 2 x + 3, x0 = 3; f) f ( x ) = cos 2 x, x0 = π6 ; − 23 x + 3 dla g) f ( x ) = 9 dla x2 x≤3 x>3 , x0 = 3; 3. Korzystając z odpowiednich twierdzeń o pochodnych, wyznaczyć pochodne funkcji: a) f ( x )= 2 x 3 − 3 x 2 + x + 1, b) f ( x ) = 3 x + 2 x − 3x + x23 , c) f ( x ) = 2 x − x3 + 3 3 x x2 , d) f ( x ) =x 5 − 2e5 − 3π 2 , e) f ( x ) = 4sin x + 2 ln x − 3x , f)= f ( x ) arcsin x − 3 x , g) f ( x ) = x 2 cos x, h) f ( x= ) e x ⋅ tg x, ( ) i) f ( x ) = ( x3 − 2 x ) ⋅ 3 x − 1 , x ln x ⋅ arctag x, j) f ( x ) =⋅ k) = f ( x) l) f ( x ) = x ln x − 1x arccos x, 1 x 2 + 3 x −1 , m) f ( x ) = x 2 −3 x + 2 2 x −1 n) f (= x) x3 + 2 x 2 −3 o) f ( x ) = 2 x +3 arctg x p) f ( x ) = xe x x2 + 2 q) f (= x) ( 3x + 1) + , 1 x 2 +1 , , , 6 , r)= f ( x ) sin ( 4 x 2 − 1) , 4. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji: a) f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 w punkcie x0 = 2, b) f ( x ) = c) f ( x ) = = x w punkcie x0 9, w punkcie x0 = −1, 2 x = d) f ( x ) 3x x−2 e) f ( x ) = x3 + 2 x3 = w punkcie x0 1, w punkcie x0 2, = 5. Obliczyć pochodne do rzędu n dla funkcji: a) f ( x ) = x 4 − 2 x3 + x 2 − 1 oraz n = 3, b) f ( x ) = x 5 − π x + 1 oraz n = 2, x − x +1 c) f ( x ) e= = oraz n 2, 2 2 = sin x oraz n 3, d) f ( x ) x= e) f ( x )= = f) f ( x ) g) f ( x ) = ( 2 x + 1) ⋅ ln 2 x oraz n= 2, = oraz n 3, x x +1 = oraz n 2, ex x 2 +1 = = x oraz n 2, h) f ( x ) arcsin ln 3 1 + x 2 i) f ( x ) = oraz n = 2, x j) f ( x ) e= = oraz n 3, 2 = = x oraz n k , k) f ( x ) cos 6. Zbadać, czy w podanym przedziale funkcja f spełnia założenia twierdzenia Rolle'a. Jeśli tak, to wyznaczyć stałą c, o której mowa w twierdzeniu: [ 2, 4] ; a) f ( x ) = x 2 − 6 x + 13, [ −3, −1] ; b) f ( x ) = x + 2 − 3, c) f ( x ) = x−2 x2 , −1, 23 ; x 2 + 1 dla = d) f ( x ) dla 2 x e) f ( x ) = ex x , x <1 x ≥1 , [ −3,5] ; [ −1,1]. 7. Zbadać, czy funkcja f spełnia założenia twierdzenia Lagrange'a w podanym przedziale. Jeśli tak, to wyznaczyć stałą c, o której mowa w twierdzeniu: a) f ( x ) = x 2 − 2 x − 3, b) f ( x ) = arccos x, [ −1,3] ; [ −1,1] ; c) f ( x ) = e x − 4 + 1, 2 [ −2, 2] ; x 3 − 9 dla d) f ( x ) = 1 dla x2 −3 4 x − 2 x dla −6 x dla x +3 e) f ( x ) x<2 , x≥2 x<0 , x≥0 [1,3] ; [−1,1] 8. Korzystając z twierdzenia de l'Hospitala, obliczyć granice: a) lim xx3−−28x , 2 x→2 b) c) d) lim x4 lim ln x ctg x lim ln x x →∞ e x x → 0+ x →1+ 2 , , , x 2 −1 e) lim x −xsin3 x , f) lim e g) lim arctgx x , h) lim e sin−ex , x →0 x →0 x − x +3 x2 , sin 1 x→∞ x −x x →0 x+ x −2 , i) lim 2cos x 2 sin 2 x 2 x →0 j) lim+ ( 1x ) sin x x →0 k) , lim− ( sin x ) tg x x → π2 , lim+ ( π2 arccos x ) x , 1 l) x →0 3 lim ln ( e + x 3 ) x . 1 m) x →0 9. Korzystając z definicji różniczki funkcji, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia: a) 1,021 2 , ( b) ) 0,99 0,1 c) e d) cos 29 e) arctg ( 0, 02 ) f) 3 2 7,99 g) 4, 02 ⋅ ln1, 02 h) 2, 023,02 10. Wyznaczyć ekstrema i przedziały monotoniczności poniższych funkcji: a) f ( x) = 13 x 3 − 3 x + 2 b) f ( x) = ( x − 2) 4 + ( x − 2) c) f ( x) = 23 x3 − 2 x 2 + 2 x d) f ( x) = x2 −6 x −9 e) f ( x ) = 2 x2 x2 + 4 x + 4 f) f ( x) = ( x −3)2 ( x − 2) x+2 g) f ( x) = x −1 x2 + 2 x + 2 h) f ( x) = 2 1 x3 − 3 x + 2 3 i) f = ( x) 2 x − x2 j) f ( x) =e x −3 + cos x + 5 x k) f ( x) =+ 3 x 2sin x + 14 sin 2 x l) f ( x) arcsin( x) − ln x = m) f ( x) = arcsin( x2 x++x1+ 2 ) 11. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji : a) f ( x) = 13 x3 − 52 x 2 + 4 x w przedziale [0,5] b) f ( x) = x2 − 2 x+2 w przedziale [1,5] c) f ( x) = e x+1 x 2 −1 w przedziale [2, 4] d) f ( x) = 2e x +1 + sin x + 3 x w przedziale [0, π ] e) f ( x)= ln( x − 1) + ( x − 1) 2 + 3 x w przedziale [2,5] 12. Znaleźć punkty przegięcia i wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości: a) f ( x) = x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x + 1 b) f = ( x) 301 x 6 − 121 x 4 c) f ( x) = xx −+21 d) f ( x) = xx +− 22 2 e) f ( x ) = 3x x 2 +1 f) f ( x) = 1− x x g) f ( x) = ln x + x 2 + x h) f ( x) =12 e 2 x + 7 − 12 cos 2 x + 23 x 2 i) f ( x) = ( x − 1) ln( x − 1) − 52 x 2 + 13 x 3 13. Zbadać przebieg zmienności poniższych funkcji: a) f ( x) =x 4 + 3 x 3 − 4 x b) f ( x) = − x3 ( x + 3) 2 c) f ( x) = d) f ( x ) = e) f ( x ) = f) f ( x) = 2+ x2 x −1 3x x 2 +1 2 4− x2 x 2 − 2 x +1 x2 g) f ( x) = x 2 +10 x + 22 x +3 h) f ( x) = x3 x 2 −9 i) f ( x) = x + 3 + x12 j) f ( x) = 16 x − 4 x 2 − 12 k) f ( x) = 2− x 2+ x l) f ( x) =(1 − x) 3 − 2 x − x 2 m) f ( x= ) ( x + 1) n) f ( x= ) 1+ x 1− x x2 + x − 2 − 3 o) f ( x) = e 2 x2 p) f ( x)= ln(3 − x) − ln( x − 1) q) f ( x) = x ln x r) f ( x) = x −2 ex s) f ( x) = x 2 + 7 x + 12 + ln( x + 3)