3 ∑ 3 3 3 3 dx ∫ x dx ∫ b dx ∫ x2 da ∫ b dx ∫ x dx ∫ x3 3 3

Nazwisko i imię (DRUKOWANYMI LITERAMI)
Nr albumu
Kierunek studiów
5.01.2015
Rok studiów
A1
EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI 1
∞
1. Zbadać zbieżność szeregu
X
n=1
4n − 1
4n + 1
n2
3
.
2. Wyznaczyć przedział i promień zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=0
3. W odpowiednie prostokąty wpisać wartości podanych granic:
lim (1 − e
x→+∞
−x2
)=
; lim (1 − e
−x2
x→−∞
; lim e
)=
1/x
x→+∞
=
n2
(x − 1)n .
(n + 2)2 3n
lim 4e3x =
; lim e
1/x
x→−∞
lim 4e3x =
;
x→+∞
x→−∞
; lim
=
3
x→+∞
xex
|x|
=
;
;
lim 4e−2x =
x→+∞
x
lim xe
|x|
x→−∞
=
3
;
.
4. Podać definicję pochodnej funkcji. Korzystając z podanej definicji, wykazać, że jeśli f (x) = 2x3 , to f ′ (x) = 6x2 .
3
5. Wpisać wartości następujących pochodnych:
3
1.
2.
d
dx
Z
x
d
dx
Z
b
sin t2 dt =
; 3.
a
a
sin x2 dx =
; 4.
d
dx
Z
x
d
da
Z
b
p
; 5.
1 + t2 dt =
0
a
2
sin x2 dx =
;
6.
d
dx
Z
d
dx
Z
x
x2 sin t2 dt =
;
0
x3
x2
√
dt
=
1 + t4
6. Plama ropy na wodzie ma kształt koła i jej promień rośnie z szybkością 0,5 m/min. Jak szybko rośnie powierzchnia plamy
w chwili, gdy jej średnica jest równa 100 m?
7. Napisać równanie stycznej do krzywej x2 + 5y − y 2 − y 3 = 4 w punkcie P (1, −3).
.
3
3
8. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x3 − 9x2 − 48x + 52 na przedziale h−5; 14i.
9. Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f (x) =
10. Obliczyć lim
x→0
2x2 −x+1
.
x+3
4
11. Przedstawić pełny proces wyznaczania każdej z następujących całek: (1)
y=
2
x +x+12
x2 +2x−8
4
ex − 1 − ln(1 + x)
.
x2
12. Wyznaczyć liczby A i B takie, że
3
20−x
x2 +2x−8
=
A
x−2
+
B
.
x+4
Z
√
1+ x
√
dx; (2) x arctgx dx.
x
Z p
3
Następnie obliczyć pole obszaru ograniczonego przez krzywą
6
5
oraz proste y = 0, x = 3 i x = 4.
13. Obliczyć długość łuku krzywej określonej parametrycznie funkcjami x = cos2 t, y = sin2 t, t ∈ h0; πi.
6