Zliczanie fotonów

Zliczanie fotonów
Załóżmy, że mamy źródło ciagłego,
quasi -monochromatycznego światła,
˛
które oświetla fotodetektor po przejściu przez przerywacz wiazki.
Przery˛
wacz może sie˛ otwierać i zamykać natychmiast. Rozkład fotonów bedziemy
˛
badać za pomoca˛ fotopowielacza. Jest to bowiem urzadzenie,
które umożli˛
wia pomiar jednego fotonu padajacego
na fotokatode.
˛
˛ Zakładamy, że statystyka fotoelektronów odpowiada statystyce padajacych
na fotopowielacz
˛
fotonów.
Otwórzmy dostep
do fotopowielacza w chwili t i zamknijmy po
˛ wiazki
˛
czasie T . Wielokrotnie przeprowadzony eksperyment pozwoli wykreślić histogram zliczeń. Celem tych rozważań jest znalezienie rozkładu zliczeń fotonów. Innymi słowy wyznaczymy prawdopodobieństwa Pn (T ) zliczenia n
fotonów w przedziale czasu T .
Rozważmy bardzo krótki przedział ∆t z przedziału T . Przyjmijmy, że
prawdopodobieństwo emisji jednego fotoelektronu w czasie ∆t jest dane
przez
p(t)∆t = αI(t)∆t,
gdzie I(t) nate˛żeniem padajacego
światła, α jest stała˛ zależna˛ od rodzaju
˛
detektora zawierajaca
innymi wydajność kwantowa˛ detektora, wymi˛ miedzy
˛
ary geometryczne, charakterystyke˛ spektralna˛ itd.
Wybrany przedział czasu ∆t powinien być taki mały, by móc zaniedbać
możliwość emisji wiecej
˛ niż jednego fotoelektronu.
Niech Pn (t) bedzie
prawdopodobieństwem zliczenia n fotonów w cza˛
sie t(0 ≤ t ≤ T ). Przyjmijmy, że Pn (t + ∆t) jest prawdopodobieństwem
zliczenia n fotonów, z tego n − 1 fotonów w przedziale czasu (0, t) i jednego fotonu w przedziale od (t, t + ∆t). Prawdopodobieństwo zliczenia n
fotonów wynosi zatem
Pn−1 (t)p(t)∆t.
Z drugiej strony, n fotonów możemy zliczyć w czasie t i żadnego — z prawdopodobieństwem (1 − p(t)∆t) w przedziale czasu (t, t + ∆t) i wtedy
Pn (t)[1 − p(t)∆t].
Obie drogi sa˛ równoważne, zatem ponieważ wykluczaja˛ sie˛ wzajemnie, to
prawdopodobieństwa alternatywnych rozwiazań
należy dodać
˛
Pn (t + ∆t) = Pn−1 (t)p(t)∆t + Pn (t)[1 − p(t)∆t],
Równanie (1) możemy zapisać w nastepuj
˛ acej
˛ postaci
Pn (t + ∆t) − Pn (t)
= [Pn−1 (t) − Pn (t)]p(t).
∆t
1
(1)
ZLICZANIE FOTONÓW
Ponieważ ∆t może być dowolnie małe, zatem przy ∆t → 0 otrzymamy
w granicy
dPn
= p(t)[Pn−1 (t) − Pn (t)]
dt
lub inaczej
dPn
(2)
= αI(t)[Pn−1 (t) − Pn (t)].
dt
By znaleźć prawdopodobieństwo Pn (T ) zliczenia n fotonów w przedziale
czasu T trzeba znaleźć rozwiazanie
równania (2). Można sprawdzić, że
˛
rozwiazaniem
jest funkcja1
˛
Pn (T ) =
[X(T )]n
exp [−X(T )] ,
n!
gdzie
X(T ) = α
ZT
I(t)dt.
(3)
0
W realnym eksperymencie mamy do czynienia z duża˛ liczba˛ przedziałów pomiarowych T zaczynajacych
sie˛ w różnych chwilach czasu t, zatem funkcja
˛
(3) powinna być zapisana w nastepuj
˛ acej
˛ formie
X(t, T ) = α
t+T
Z
0
0
I(t )dt .
(4)
t
Wyrażenie (4) wygodnie jest zapisać w postaci
˜ T ),
X(t, T ) = αT I(t,
gdzie
˜ T) = 1
I(t,
T
1
t+T
Z
0
0
I(t )dt
t
W tym celu wystarczy znaleźć pochodna˛
dPn
dt
=
=
1
1
d
d
[X (t)]n e−X(t) + e−X(t) [X (t)]n
n!
dt
n!
dt
µ
¶
µ
¶
dX (t) −X(t)
dX (t)
1
1
[X (t)]n −
e
+ e−X(t) n [X (t)]n−1
n!
dt
n!
dt
½
[X (t)]n−1 −X(t) [X (t)]n −X(t)
e
e
−
(n − 1)!
n!
=
dX (t)
dt
=
dX (t)
[Pn−1 (t) − Pn (t)].
dt
2
¾
ZLICZANIE FOTONÓW
jest średnim nate˛żeniem promieniowania w przedziale czasu T . Zatem
Pn (t, T ) =
1
[X(t, T )]n exp[−X(t, T )].
n!
(5)
By móc porównać wynik z eksperymentem należy uśredniować rozkład po
czasie poczatku
pomiaru, który mógł być różny. Tak wiec
˛
˛ rozkład prawdopodobieństwa zliczenia n fotonów ma postać
Pn (T ) = hPn (t, T )i = h
1
˜ T )]n exp[−αT I(t,
˜ T )]i .
[αT I(t,
n!
(6)
Wzór (6) jest podstawowym zwiazkiem
w badaniach statystyki fotonów.
˛
Określa prawdopodobieństwo zliczenia n fotonów, że w przedziale czasu
[t, t + T ].
Zapiszmy to wyrażenie w prostszej formie. Załóżmy, że w zbiorze N
atomów każdy wyemituje foton o czestości
ν w przedziale czasu T z praw˛
dopodobieństwem η ¿ 1. Prawdopodobieństwo zliczenia n fotonów ma
postać
(Nη)n
Pn =
exp (−N η) .
n!
Tak wiec
˛ prawdopodobieństwo nie zliczenia żadnego fotonu wynosi
P0 = exp (−N η) ,
a dwóch fotonów
P2 =
(Nη)2
exp (−N η) .
2!
Średnia moc optyczna padajaca
˛ na detektor w czasie T wynosi
Pd =
Nηhν
T
(7)
i jest to wielkość mierzalna.
Z (7) znajdujemy, że wartość średnia˛
Nη =
Pd
Pd T
=
,
hν
hB
gdzie B = 1/T jest pasmem detektora.
Musimy określić rozrzut zliczeń wokół średniej, który jest dany przez
odchylenie standardowe. Dla rozkładu Poissona jest to pierwiastek średniej
zliczeń, czyli
s
p
Pd
σ = Nη =
.
hB
3
ZLICZANIE FOTONÓW
Wielkość zawiera informacje o szumie, tak że moc szumowa wynosi
Pszum = σ
a stosunek sygnału do szumu
hν p
= Pd hνB,
T
Pm
=
SNR =
Pszum
s
Pm
.
hνB
Wynik świadczy o podstawowym ograniczeniu dokładności pomiarów. Ponieważ rośnie z pierwiastkiem, to SNR jest mały dla małych wartości zliczeń,
co biorac
˛ pod uwage˛ ziarnistość światła jest intuicyjnie oczywiste. Jest też
mały dla dużych czestości
optycznych. Powodem jest duża energia przy˛
padajaca
˛ na jeden foton i mniej fotonów złoży sie˛ na całkowita˛ energie˛
światła padajac
to granulacje˛ w po˛ a˛ na detektor w przedziale T . Zwiekszy
˛
miarze światła.
Należy zwrócić uwage,
˛ że rozważania powyższe sa˛ słuszne dla η ¿ 1,
co w przypadku światła laserowego o gestości
mocy nie jest do przyjecia.
˛
˛
Takie światło nosi nazwe˛ subpoissonowskiego.
Literatura
1. W. Brunner, W. Radloff, K. Junge, Elektronika kwantowa, WNT,
Warszawa 1980.
2. Handbook of Optoelectronics, vol.1, ed.: J. P. Dakin, R. G. W. Brown,
CRC Press, New York, London 2006.
3. W. Demtröder, Spektroskopia laserowa, PWN, Warszawa 1993.
4. J. Hawkes, I. Latimer, Lasers. Theory and Practice, Prentice Hall,
New York, London 1995.
5. P. W. Milonni, J. H. Eberly, Lasers, John Wiley & Sons, New York
1988..
6. A. Kujawski, P. Szczepański, Lasery. Podstawy fizyczne, Oficyna
Wydawnicza PW, Warszawa 1999.
7. H. Haken, Światło, PWN, Warszawa 1993.
8. H. A. Bachor, A Guide to Experiments in Quantum Optics, WileyVCH, New York 1998.
4