TEORIA do pracy klasowej

Druga cecha przystawania trójk tów (BKB): Dwa trójk ty s przystaj ce, je eli dwa boki jednego trójk ta s równe
odpowiednim bokom w drugim trójk cie, a k t le cy pomi dzy tymi bokami w pierwszym trójk cie ma tak sam miar jak
odpowiedni k t w drugim trójk cie.
C’
PRZYKŁAD:
A
ABC
A' B ' C '
8 cm
6 cm
6 cm
C
B
8 cm
A’
B’
Komentarz: Wa nym elementem cechy BKB jest uwaga, e badany k t musi le e mi dzy badanymi bokami. Nie mo na
porówna ze sob innych k tów! Wówczas trójk ty nie musz by przystaj ce, co prezentuje poni szy rysunek. Trójk ty maj
dwie pary równych boków i par odpowiednich k tów równych, jednak nie s przystaj ce!!!
A
A’
4 cm
4 cm
C
8 cm
C’
B
B’
8 cm
Wida bardzo wyra nie, e dwa narysowane wy ej trójk ty nie s przystaj ce, chocia maj dwie pary odpowiednich boków
równych oraz par równych k tów odpowiadaj cych sobie. Jednak k ty te nie le pomi dzy badanymi bokami, wi c nie jest
spełniona cecha BKB. Trójk ty nie s przystaj ce, bo nie zachodz warunki opisane w cesze BKB.
Trzecia cecha przystawania trójk tów (BKB): Dwa trójk ty s przystaj ce, je eli dwa k ty jednego trójk ta s równe
odpowiednim k tom w drugim trójk cie, oraz jeden bok pierwszego trójk ta jest równy odpowiedniemu bokowi trójk ta
drugiego.
B’
PRZYKŁAD:
A
ABC
A' B ' C '
8 cm
C
8 cm
B
A’
C’
12. FIGURY PODOBNE.
Figury podobne. Dwie figury nazywamy podobnymi, je li nie ró ni si kształtem i istnieje pewna liczba k, zwana skal
podobie stwa, która okre la nam w sposób jednoznaczny, ile razy jedna figura jest wi ksza od drugiej.
Na rysunku zaznaczono figury podobne tym samym kolorem:
Na rysunku zaprezentowano dwa prostok ty. Skala podobie stwa wynosi k = 2, bo drugi prostok t jest dwa razy wi kszy od
pierwszego:
Na rysunku zaprezentowano dwa trójk ty. Skala podobie stwa wynosi k = 3, bo drugi
trójk t jest trzy razy wi kszy od pierwszego:
Na rysunku zaprezentowano dwa pi ciok ty. Skala podobie stwa wynosi k =
1
,
2
bo drugi pi ciok t jest dwa razy mniejszy od pierwszego (jego wymiary stanowi
połow wymiarów pierwszego pi ciok ta:
Figury zawsze podobne. Istniej figury geometryczne, które zawsze s podobne, niezale nie od własno ci, np.:
dwa kwadraty s zawsze podobne,
dwa koła s zawsze podobne,
dwa odcinki s zawsze podobne,
dwa trójk ty równoboczne s zawsze podobne,
dwa sze ciok ty foremne s zawsze podobne,
dwa n – k ty foremne s zawsze podobne.
Obliczanie skali podobie stwa: Aby obliczy skal podobie stwa nale y podzieli długo
drug figur (np. długo boku, długo przek tnej , długo promienia itd…), przez długo
figury.
dowolnego odcinka zwi zanego z
odpowiedniego odcinka pierwszej
PRZYKŁAD. Na rysunku zaprezentowano dwa prostok ty podobne. Oblicz skal podobie stwa.
D
C
A’
D’
8 cm
6 cm
B’
Aby obliczy skal , nale y znale
C’
12 cm
A 4 cm B
stosunek odpowiadaj cych sobie boków tych figur, np.:
k
A' B'
AB
6 cm
4 cm
3
2
lub:
k
B' C '
BC
12 cm
8 cm
3
2
PRZYKŁAD. Na rysunku zaprezentowano dwa koła. Oblicz skal podobie stwa.
d1 = 20 cm
d2 = 8 cm
Aby obliczy skal , nale y znale
stosunek rednic tych kół:
k
d2
d1
8 cm
20 cm
2
5
Pola figur podobnych.
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali. Je li dwie figury s podobne do siebie w skali k, to stosunek ich pól
2
wynosi k .
P1
Je li figury na rysunku s podobne w skali k, to stosunek ich pól
wynosi:
P2
P1
P2
k2
Zastosowanie poj cia podobie stwa:
Poj cie podobie stwa ma zastosowanie w kartografii, czyli w dziale geografii zajmuj cym si tworzeniem map. Dzi ki
podobie stwu tworzy si skal mapy. Ka da skala mapy okre la za pomoc ułamka, ile razy odległo ci zaznaczone na mapie
s mniejsze od odległo ci prawdziwych mierzonych w terenie w skali rzeczywistej. Poniewa odległo ci na mapie s znacznie
mniejsze od odległo ci rzeczywistych skala mapy jest przewa nie bardzo niewielkim ułamkiem, np.:
1
lub
1000000
1
500000
Na mapie zapisuje si ten ułamek za pomoc symbolu działania dzielenia:
1 : 1000000 lub 1 : 500000
Podobie stwo prostok tów:
Cecha podobie stwa prostok tów: Dwa prostok ty s podobne, je eli stosunek ich boków jest taki sam.
PRZYKŁAD. Sprawd , czy prostok ty o bokach długo ci 4 cm i 10 cm oraz 3 cm i 7,5 cm s podobne?
4 cm
3 cm
7,5 cm
10 cm
Nie trzeba sprawdza istnienia skali podobie stwa. Zgodnie z cech podobie stwa wystarczy zbada stosunki boków ka dego
z prostok tów.
Prostok t pierwszy: 10 cm : 4 cm = 2,5,
prostok t drugi: 7,5 cm : 3 cm = 2,5
Poniewa stosunki długo ci boków w obu prostok tach s równe, to prostok ty s podobne.
Podobie stwo trójk tów:
Cecha podobie stwa trójk tów (KKK): Dwa trójk ty s podobne, je eli jeden z nich ma takie same k ty wewn trzne jak drugi.
80°
63°
37°
63°
80°
37°
Trójk ty na rysunku s podobne, bo – zgodnie z cech KKK – maj takie same k ty.
13. TWIERDZENIE TALESA.
k
B
l
b
A
a
l II k
O
c
A’
d
B’
Twierdzenie Talesa (wersja 1): Je li ramiona k ta przetniemy dwoma prostymi równoległymi, to stosunki odpowiadaj cych
sobie odcinków na obu ramionach k ta s równe.
Np.:
OA
AB
OA'
A' B'
lub
OA
OB
OA'
OB '
lub
AB
OB
A' B '
OB '
Przy innych oznaczeniach (gdy mamy podane długo ci odcinków pod postaci liter):
a
c
b
d
a
c
lub
a
c
b
d
b
d
lub
a
c
b
d
Twierdzenie Talesa (wersja 2): Je li ramiona k ta przetniemy dwoma prostymi równoległymi, to stosunek dowolnych
odcinków powstałych na jednym z ramion k ta jest równy stosunkowi odpowiadaj cych im odcinków drugiego ramienia.
Np.:
OA
OA'
AB
A' B'
lub
OA
OA'
OB
OB '
lub
AB
A' B'
OB
OB '
Przy innych oznaczeniach (gdy mamy podane długo ci odcinków pod postaci liter):
a
b
c
d
a
lub
a
c
b
c
b
lub
d
a
d
b
c
d
Twierdzenie Talesa (wersja rozszerzona): Mo na poszerzy twierdzenie Talesa do bardziej ogólnej sytuacji: Je li dwie
proste przecinaj ce si przetniemy prostymi równoległymi, to stosunek dowolnych dwóch odpowiadaj cych sobie odcinków
powstałych na prostych przecinaj cych si jest stały.
Komentarz: w wersji rozszerzonej zamiast ramion k ta przecinamy par prostych nierównoległych (czyli ramiona dwóch k tów
wierzchołkowych). Prostych równoległych mo e by wiele.
m
n
l
h
k
g
a
l II k II m II n
b
c
d
f
e
a
e
b
f
c
g
d
h
Twierdzenie Talesa – wniosek dla odcinków na prostych równoległych: Je li ramiona k ta przetniemy dwoma prostymi
równoległymi, to stosunek odcinków powstałych na prostych równoległych jest równy stosunkowi odcinków jednego ramienia,
których ko cami s : wierzchołek k ta i punkt przeci cia si ramienia z jedn z prostych równoległych.
l
A
a
O
Bk
b
e
f
c
A’
l II k
d
B’
BB'
OB
AA'
OA
lub
BB'
OB'
AA'
OA'
. Przy innych oznaczeniach mo na zapisa :
e
f
a
b
a
lub
e
f
c
d
c
PRZYKŁAD. Oblicz długo
brakuj cego odcinka.
Sytuacja w zadaniu spełnia zało enia twierdzenia Talesa.
Mo na zapisa odpowiedni proporcj , by wyliczy długo
odcinka x (zgodnie z wersj 1)
k
l
6 cm
4 cm
2 cm
2,5 cm
y
4
2,5
l II k
x
Zgodnie z zasad rozwi zywania proporcji mo na zapisa :
4x
2,5 6
4x
15
x
Aby wyliczy długo
6
x
:4
3,25 cm
odcinka y, trzeba skorzysta z wniosku z twierdzenia Talesa, z którego wynika proporcja:
y
2
6
4
4
czyli
y
2
10
4
Zgodnie z zasad rozwi zywania proporcji mo na zapisa :
4y
2 10
4y
20
y
5 cm
:4
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa: Je eli w wyniku przeci cia ramion k ta dwoma prostymi powstaj
ramionach k ta odcinki proporcjonalne, to znaczy, e proste s równoległe.
na
Komentarz: twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa słu y do sprawdzania, czy dwie proste (odcinki) s równoległe.
14. SYMETRIE.
Symetria osiowa. Symetria osiowa to przekształcenie geometryczne na płaszczy nie (lub w przestrzeni), w którym obrazem
punktu A w symetrii wzgl dem prostej k jest taki punkt A’, e odcinek AA’ jest prostopadły do prostej k, a prosta k, dzieli ten
odcinek na połowy.
k
B
Dodatkowe informacje:
Punkt A’ jest nazywany obrazem punktu A.
Symetria osiowa jest nazywana równie symetri wzgl dem prostej lub
(rzadziej) odbiciem lustrzanym.
Prosta k jest nazywana osi symetrii.
Obrazem punktu le cego na osi symetrii jest ten sam punkt (patrz punkty B i B’).
Symetria osiowa jest izometri , to znaczy, e obrazem odcinka jest odcinek o tej
samej długo ci.
Odległo punktu A od osi k jest taka sama jak odległo punktu A’ od tej osi.
B’
A
A’
Rysunki prezentuj przykłady obrazów figur w symetrii osiowej:
A
B
k
B
k
C C’
B’
A’
B’
A
O symetrii figury. Osi
dokładnie ta sama figura.
A’
symetrii figury nazywamy tak
prost ,
e obrazem figury w symetrii wzgl dem tej prostej jest
Komentarz: osi symetrii figury mo e by tylko taka prosta, która dzieli figur na połowy i połowy te s symetryczne wzgl dem
siebie. Mo na wyja ni sobie ten fakt wyobra aj c sobie „składanie” figury niczym kartk papieru. Osi symetrii b dzie taka
linia zagi cia kartki, która spowoduje e „składane” cz ci figury nało si na siebie, wzajemnie si pokrywaj c.