Ćwiczenia 14 - Eliminacja Gaussa

Ćwiczenia 14 - Eliminacja Gaussa
c)
x1 + 2x2 + 3x3 = 3
2x1 + x2 + 3x3 = 3
x1 + x2 + 2x3 = 0
1. Metodą eliminacji Gaussa sprowadź macierz do postaci górno trójkątnej
1 −1
2 3
2 −2
5 4
 1
2 −1 2
0
1
2 1



A=



.

2. Metodą eliminacji Gaussa rozwiąż układ równań
a)
4. Napisz program w C++, który rozwiązuje układ równań korzystając z
eliminacji Gaussa.
5. Metodą eliminacji Gaussa rozwiąż układy równań
a)
= 4
x1 + 2x2
2x1 + x2 − x3 = 2
3x1 + x2 + x3 = −2
x + 2y − z = 2
2x + 3y + z = 1
4x + y
= 4
b)
x + 2y − z = 2
2x + 3y + z = 1
4x + y
= 4
3. Korzystając z eliminacji Gaussa przedyskutuj istnienie i jednoznaczność rozwiązania układu równań
b)
2x1 + 4x2 + 2x3
− x3 + x 4
x1
x2 + 3x3 − x4
2x1 + x2 + 2x3 + x4
=
=
=
=
4
2
0
6
6. Dla danej macierzy wykonaj eliminację Gaussa z częściowym wyborem
elementów podstawowych
a)
x1 + x2 + x3 = 3
x1 − x2 − 2x3 = −5
2x1 + 3x2 + x3 = 5
b)
x1 − x2 + 2x3 = 1
3x1 − x2 + 2x3 = 3
2x1 − x2 + 2x3 = 2

A=




1 −1
1
2
1
2 −1
3
3
1
−1
1 −1 −2 −1
2
1 −1
2
2


.

7. Napisz program w C++, który rozwiązuje układ równań korzystając z
eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementów podstawowych.
8. Metodą eliminacji Gaussa
a) bez wyboru elementów podstawowych
159

160
b) z częściowym wyborem elementów podstawowych
14. Metodą eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementów podstawowych rozwiąż układ równań
rozwiąż układ równań Ax = b

A=




2
1
0
2
4
2
0
0 −1
1
2
3 −1
1
2
1



,b


=




4
2
1
0
x2 + 2x3 + 3x4
+ x3 + 2x4
x1
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4
x2 + 3x3 + 2x4



.

9. Oblicz wyznacznik macierzy korzystając z eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementów podstawowych

A=




2
0
0
0
0
2
1
0
0
1
2 −1
0
2
2
0




,B

=




1
0 2 1
2 −1 1 0
1
0 0 3
−1
0 2 1




,C

=




1
2
1
2
2
4
3
5
3
3
4
6
1
1
2
4
=
=
=
=
8
4
10
7
15. Metodą eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementów podstawowych rozwiąż układ równań
4x1 + 6x2 − 5x3 = −9
6x1 + 12x2 − 6x3 = −18
4x1 + 4x2 + 2x3 = −4



.

16. Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiąż układy równań
10. Stosując metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementów
rozwiąż układ równań Ax = b, gdzie




A=
2
6
0
4
3
3
4
3
2 3
0 6
4 0
3 10



,b





=
1 
3
1 

.
2 
A=




1
−1
2
0
2 −1
3 −1
2 −1 3
4
 1
2
1
1
2 
0 2
3


, B = 
 4
4 −2
6 −2 
1 0 −1
1
4 −1
0
−2
3 4
1

13. Znajdź liczbę liniowo niezależnych wektorów w układzie








.














1
x
1 0 1




1 1 2 
 y  =  2 ,
3
z
1 1 1

2
x
1 0 1




1 1 2 
 y  =  0 ,
1 1 1
z
3

2
x
1 0 1




1 1 2 
 y  =  0 .
1
z
1 1 1









17. Stosując eliminację Gaussa sprowadź macierz do postaci diagonalnej




1 2 −1
2 3
1 
.
4 1
0
(1, −1, 2, 3, 0, 4), (2, 4, 0, 6, −2, −2), (2, 1, 2, 6, −1, 3).
161

x
1
1 0 0
1
1 0 0
x

 






1 1 0 
 y  =  2 ,  1 1 0  y  =  1 
1 1 1
3
z
1 1 1
z
1
b)
13
6
12. Określ rząd macierzy korzystając z eliminacji Gaussa z częściowym
wyborem elementów podstawowych




11. Napisz funkcję w C++ , która dla danej jako parametr macierzy oblicza
jej wyznacznik korzystając z eliminacji Gaussa z częściowym wyborem
elementów podstawowych.

a)
162