plik pdf

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ DO DRUGIEGO KOLOKWIUM
I. METODY ROZWIĄZYWANIA LINIOWYCH UKŁADÓW RÓWNAŃ
1. Rozwiązać układy równań:
a) 5x1
= 10
x1 - 3x2
= -1
2x1 + x2 - x3
=2
2x2 + x3 + 4x4
=1
-3x3 - 4x4 + 5x5 = 5.
b) x1 - x2 + x3
=1
2x2 - x3 + x4 = 1
3x3 - x4 = 5
4x4 = 4.
2. Dany jest układ równań
x 1 + 2x2 - 3x 3 + x 4 = 1
3x 1 - x 2 + 5x 3
=7
x1 + 3x 2 - x 3
=3
x2
- x4 = 0 .
Obliczyć rozwiązanie tego układu metodą
a) Gaussa,
a) Crouta.
3. Obliczyć metoda Crouta rozwiązanie układu równań Ax=b, gdzie
6 − 1
 2


A =  5 − 1 2  b T = (−12,29,5).
− 3 − 4 1 


4. Wyprowadzić wzory na rozwiązanie liniowego układu równań metodą
Gaussa o macierzy 3-diagonalnej wymiaru n * n .
5. Dana jest macierz symetryczna
0 − 2 − 2
 4
 0
4 − 2 0 
A=
− 2 − 2 3
2 


2
3 
− 2 0
a) Przedstawić A = LLT , gdzie L jest macierzą dolną trójkątną.
b) Korzystając z rozkładu uzyskanego w punkcie b) obliczyć rozwiązanie
układu Ax = b , gdzie bT = ( 0, 2, 1, 3).
6. Opisać procedury realizujące wybrane algorytmy dotyczące rozwiązywania
liniowych układów równań.
1
PS. (od Damiana)
Niestety w poniższych dwóch zadaniach nie ma takich pięknych macierzy, ale
niestety nie mam tego „czegoś” (Equotation?), co je generuje, ale mam nadzieje
że nie będziecie płakać ☺
7. Oblicz wyznacznik oraz macierz odwrotną do macierzy:
1234
5670
0010
1000
metodą Gaussa z wyborem elementu podstawowego.
8. Napisz procedurę , która zadaną macierz o rozmiarze n postaci
q 1 2 0 0 0 ... 0
p q 1 2 0 0 ... 0
0 p q 1 2 0 ... 0
.....................
0 ......... 0 p q 1
0 ............0 p q
doprowadza do macierzy górnie trójkątnej. p, q parametry wejściowe procedury.
(Tu chodzi o to że każdy wiersz zawiera czwórkę p,q,1,2 – czasem obciętą – z
tym że w kolejnych wierszach jest ona przesuwana o jedną pozycje w prawo,
ale to przecież widać, prawda? ☺)
II. OBLICZANIE ZER FUNKCJI METODAMI ITERACYJNYMI
1. Znaleźć przybliżony pierwiastek rzeczywisty równania x^3-x+1=0 metodą
połowienia.
2. Metodą połowienia znaleźć dodatni pierwiastek równania x^2-x-1=0 z
dokładnością 10^(-2).
3. Znaleźć miejsce zerowe funkcji y=3x+sinx -e^x w przedziale [0,1] za pomocą
metody siecznych.
4. Oblicz metodą siecznych pierwiastek równania e6x-3x^2=0 położony w
pobliżu
punktu -0,5.
1
a
5 .a) Podać wzór iteracyjny do obliczania x = , dla a ≠ 0,
który nie używa dzielenia.
b) Obliczyć, korzystając z wyprowadzonego wyżej wzoru, x =
startując z x0 =0.05.
2
1
10
6. a) Podać postać metody Newtona obliczania a , a > 0 .
b) Korzystając ze wzoru podanego w punkcie a) obliczyć 3 kolejne
przybliżenia 2 startując z x0= 1 .
7. Opisać funkcje realizujące algorytmy metody Newtona i siecznych w
przypadku jednowymiarowym.
3