POCHODNA cd. Badanie przebiegu zmienności funkcji • Jeżeli

POCHODNA cd.
Badanie przebiegu zmienności funkcji

Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale
rosnąca.

Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale
malejąca.

Jeżeli pochodna funkcji jest każdym punkcie pewnego przedziału równa zeru, to funkcja jest w
tym przedziale stała

Jeżeli funkcja posiada w pewnym punkcie ekstremum lokalne, to pochodna funkcji w tym
punkcie równa się zeru.

Jeżeli pochodna funkcji przy przejściu zmiennej x przez punkt x0 zmienia znak z ujemnego na
dodatni to funkcja osiąga minimum.

Jeżeli pochodna funkcji przy przejściu zmiennej x przez punkt x0 zmienia znak z dodatniego na
ujemny to funkcja osiąga maksimum.
Reguła de L’Hospitala:

Dla funkcji
oraz
określonych w przedziale
, kiedy
lub
oraz istnieją pochodne
a także
oraz
i
, wówczas

Dla funkcji
oraz
określonych w przedziale
, kiedy
lub
oraz istnieją pochodne
oraz
i
, wówczas
a także

Dla funkcji
oraz
określonych w przedziale
, kiedy
lub
oraz istnieją pochodne
a także
oraz
i
, wówczas
Przykład 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji:

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Funkcja nie posiada asymptot.

Obliczamy pochodną:
Przyrównujemy pochodną do zera w calu znalezienia ekstremów lokalnych funkcji:
oraz
8
f'(x)
6
4
2
+
-5
-4
+
0
-3
-2
-1
-
-2
0
-4
-6
Ekstrema lokalne są dla wartości zmiennej
oraz
.
1
2
3
W przedziale
oraz
w tych przedziałach rosnąca.
W przedziale
malejąca.
pochodna funkcji
pochodna funkcji
jest dodatnia, czyli funkcja
jest ujemna, czyli funkcja
jest w tym przedziale
Można narysować tabelkę przebiegu zmienności funkcji:
-3
0
25
Oraz wykres funkcji
1
0
-7
:
30
f(x)
25
20
15
10
5
0
-6
-4
-2
-5
-10
0
2
jest
4
Przykład 2. Zbadać przebieg zmienności funkcji:

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich bez liczby 1:

Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Badamy istnienie asymptot:
Istnieje
asymptota
obustronna
.
pionowa
.
Sprawdzamy istnienie ekstremów i wyznaczamy przedziały monotoniczności:
1
+
0
0
0.5
1
-
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-1
e
-2
-3
-4
-5
-6
W przedziale
malejąca.
W przedziale
rosnąca.
pochodna funkcji
pochodna funkcji
jest ujemna, czyli funkcja
jest dodatnia, czyli funkcja
Można narysować tabelkę przebiegu zmienności funkcji:
0
jest w tym przedziale
jest w tym przedziale