zad.1 Rozwa»ane firmy maj¡ nast¦puj¡ce funkcje kosztów: TCL(q) = 8

zad.1 Rozwa»ane rmy maj¡ nast¦puj¡ce funkcje kosztów: T CL (q) = 8+3q oraz T CN (q) = 5+6q a funkcja
zagregowanego popytu na ich produkt wynosi: q = 200 − p. Oblicz cen¦ oraz optymalne poziomy produkcji obu
rm:
1. w modelu Stackelberga (L jak lider, N jak na±ladowca)
2. w modelu Cournota.
Ad.1. Wyprowadzimy najpierw tzw. funkcj¦ reakcji na±ladowcy RN (qL ). Jest to taki poziom
produkcji na±ladowcy, który maksymalizuje jego zysk, przy zaªo»eniu, »e lider b¦dzie produkowaª qL . Przy tym
zaªo»eniu funkcja przychodów na±ladowcy T RN (q) ma posta¢
Rozwi¡zanie.
T RN (q) = q · p − (5 + 6q)
gdzie cen¦ obliczymy z funkcji popytu:
p = 200 − (qL + q).
Po podstawieniu mamy:
T RN (q) = q · (200 − qL − q) − 5 − 6q = 200q − qL · q − q 2 − 5 − 6q.
Poziom produkcji na±ladowcy q maksymalizuj¡cy zysk speªnia wi¦c równanie
0
T RN
(q) = 0,
czyli
200 − qL − 2q − 6 = 0 sk¡d mamy q =
i ostatecznie mo»emy napisa¢
RN (qL ) =
194 − qL
2
194 − qL
.
2
Wczujemy si¦ teraz w poªo»enie lidera. Zdaje on sobie spraw¦, »e je±li rzuci na rynek qL to odpowiedzi¡
na±ladowcy b¦dzie poziom produkcji zadany przez powy»szy wzór. Lider maksymalizuje wi¦c nast¦puj¡c¡
funkcj¦ przychodów:
T RL (q) = q · (200 − q −
1
194 − q
) − (8 + 3q) = 200q − 97q − q 2 − 8 − 3q
2
2
i rozwi¡zuje równanie:
103 −
1
· 2q − 3 = 0
2
sk¡d q = 100 jest optymalnym poziomem produkcji lidera. Mo»emy wi¦c napisa¢:
qL = 100 oraz qN = RN (100) = 94/2 = 47.
Ad.2. Teraz sytuacja jest symetryczna - obaj producenci s¡
obliczmy wi¦c funkcj¦ reakcji 'zdegradowanego' lidera:
na±ladowcami
poczyna« konkurenta. Najpierw
T RL (q) = q · (200 − qN − q) − (8 + 3q) = 200q − qN q − q 2 − 8 − 3q,
0
T RL
(q) = 200 − qN − 2q − 3 = 0,
a zatem:
197 − qN
.
2
RL (q) =
∗
Mówimy, »e poziomy produkcji qL∗ oraz qN
tworz¡
∗
qN
∗
qL
równowag¦ Cournota gdy speªniaj¡ ukªad równa«:
∗
RN (qL
)
∗
RL (qN )
=
=
Chodzi o to, »e zaªo»enia o poziomie produkcji konkurenta s¡ zgodne z rzeczywisto±ci¡. Warto doda¢, »e
w tej cz¦±ci litery L oraz N nie oznaczaj¡ lidera i na±ladowcy, ale po prostu rozró»niaj¡ obu producentów!
Rozwi¡zujemy wi¦c ukªad równa«:
(
∗
qN
∗
qL
=
=
∗
∗
i otrzymujemy qN
= 63 23 oraz qL
= 66 32 .
1
∗
194−qL
2 ∗
197−qN
2