6 Równania Laplace`a i Poissona. Elementy teo
Transkrypt
6 Równania Laplace`a i Poissona. Elementy teo
61 Równania Laplace'a i Poissona 6 Równania Laplace'a i Poissona. Elementy teorii potencjaªu Operatorem Laplace'a (lub laplasjanem ) nazywamy operator ró»niczkowy drugiego rz¦du ∆ := ∂2 ∂2 + · · · + ∂x21 ∂x2n dziaªaj¡cy na funkcjach rzeczywistych n zmiennych x1 , ..., xn . Z pocz¡tku, dziedzin¡ operatora Laplace'a b¦dzie przestrze« liniowa funkcji n zmiennych 2 n klasy C okre±lonych na pewnym obszarze Ω ⊂ R , (chocia» laplasjan mo»na sensownie zdeniowa¢ na znacznie szerszej klasie funkcji). Równaniem Laplace'a nazywamy równanie ró»niczkowe cz¡stkowe dru- giego rz¦du ∆u = 0, (RL) gdzie niewiadoma funkcja u = u(x1 , . . . , xn ) = u(x) jest okre±lona na obszan rze Ω ⊂ R . Jako »e macierz jednostkowa jest dodatnio okre±lona, równanie Laplace'a jest (najprostszym) przykªadem liniowego jednorodnego równania ró»niczkowego cz¡stkowego drugiego rz¦du, o staªych wspóªczynnikach, typu eliptycznego. Równanie ró»niczkowe Laplace'a opisuje stan stacjonarny przy dyfuzji. u = u(x, y, z) oznacza g¦sto±¢ pewnej substancji w punkcie (x, y, z). Niech F(x, y, z) oznacza strumie« w punkcie (x, y, z). Zakªadamy, Zaªó»my, »e »e strumie« jest proporcjonalny do gradientu g¦sto±ci, i »e dyfuzja nast¦puje od wi¦kszej do mniejszej g¦sto±ci. Je±li wspóªczynnik proporcjonalno±ci jest niezale»ny od punktu, otrzymujemy wtedy F = −a∇u, gdzie a > 0 jest staª¡. Ponadto zakªadamy, »e substancja nie tworzy si¦ ani nie zanika. Wówczas dla 3 dowolnego obszaru ograniczonego U ⊂ R o dostatecznie regularnym brzegu ∂U zachodzi ZZ hF, ni dS = 0, ∂U co po zastosowaniu twierdzenia Gaussa daje ZZZ div F dV = 0. U Poniewa» obszar U jest dowolny, zachodzi −a div(∇u) = 0, 62 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski czyli −a ∆u = 0, czyli równanie Laplace'a. Równaniem Poissona nazywamy równanie ró»niczkowe cz¡stkowe drugie- go rz¦du ∆u = g, (RL) gdzie g : Ω → Rn 6.1 jest zadan¡ funkcj¡. To»samo±ci Greena Zaªó»my, »e Ω ⊂ Rn jest obszarem ograniczonym, o brzegu ∂Ω wystarcza- j¡co regularnym na to, by zachodziªo twierdzenie o dywergencji, za± u i v C 2 na domkni¦ciu Ω̄ = Ω ∪ ∂Ω. Wówczas speªnione s¡ s¡ funkcjami klasy to»samo±ci Greena : Z (I-TG) v∆u dx = − (II-TG) v∆u dx = Ω Z Ω Z (6.1) u=v 2 (uxi ) dx + Ω i=1 6.2 v≡1 ∆u dx = Z ∂Ω otrzymujemy Z X n Z ∂Ω Ω Z Ω Z ∂Ω u∆v dx + W szczególno±ci, bior¡c w (II-TG) Bior¡c w (I-TG) vxi uxi dx + Ω i=1 Ω Z Z X n v ∂u dS, ∂n ∂u ∂v v −u ∂n ∂n ! dS. otrzymujemy ∂u dS. ∂n to»samo±¢ energetyczn¡ : u∆u dx = Z ∂Ω u ∂u dS. ∂n Zagadnienia brzegowe Je±li chodzi o zastosowania zyczne równania Poissona (w teorii potencjaªu, na przykªad), zagadnienie Cauchy'ego nie ma zbyt du»ego sensu. Natomiast zagadnienia brzegowe , polegaj¡ce na znalezieniu takiego rozwi¡zania równania Poissona na obszarze Ω, które na brzegu ∂Ω speªnia warunki brzegowe . znaczenie maj¡ Typowe warunki brzegowe to: 63 Równania Laplace'a i Poissona warunek Dirichleta(1) : u funkcji f ; warunek Neumanna(2) : obci¦te do brzegu pochodna normalna by¢ równa zadanej funkcji Zaªó»my, »e u1 i u2 ∂Ω ma by¢ równe zadanej ∂u/∂n na brzegu ∂Ω ma f. s¡ rozwi¡zaniami zagadnienia brzegowego Dirichleta ∆u na u na =g =f Ω, ∂Ω, ∂Ω sa tak regularne, v := u1 − u2 . Zauwa»my, »e oraz »e wszystkie wyst¦puj¡ce funkcje i brzeg obszaru by to»samo±ci Greena byªy speªnione. Oznaczmy v jest rozwi¡zaniem nast¦puj¡cego zagadnienia Dirichleta ∆v =0 v = 0 na na Ω, ∂Ω. Z to»samo±ci energetycznej wynika, »e gradient funkcji zeru, zatem v jest funkcj¡ staª¡. Lecz musi by¢ równy zeru na caªym v v jest wsz¦dzie równy jest równy zeru na brzegu ∂Ω, zatem Ω̄. Otrzymali±my w ten sposób (warunkow¡) jednoznaczno±¢: je±li rozwi¡zanie wyj±ciowego zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona istnieje, to jest jedyne. W przypadku warunków Neumanna sytuacja nieco si¦ komplikuje: powy»sze rozumowanie pokazuje, »e je±li rozwi¡zanie zagadnienia Neumanna dla równania Poissona istnieje, to jest jedyne z dokªadno±ci¡ do staªej addytywnej. 6.3 Funkcje harmoniczne. Rozwi¡zania fundamentalne równania Laplace'a Funkcj¦ u : Ω → R, cj¡ harmoniczn¡ punkcie obszaru na Ω ⊂ Rn jest obszarem, klasy C 2 , nazywamy funkobszarze Ω, je±li speªnia równanie Laplace'a w ka»dym gdzie Ω. Mo»na wykaza¢, »e dla ka»dego punktu (1) ξ ξ ∈ Rn po dokonaniu obrotu wokóª (czyli, mówi¡c formalnie, po zamianie x na A(x − ξ), gdzie A Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 1859), matematyk niemiecki. Carl Gottfried Neumann (1832 1925), matematyk niemiecki (nie myli¢ z Johnem von Neumannem (1903 1957), matematykiem ameryka«skim pochodzenia w¦gierskiego). (2) 64 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski jest macierz¡ ortogonaln¡), równanie Laplace'a nie zmieni si¦. Mo»e to nas skªoni¢ do szukania sferycznie symetrycznych rozwi¡za« równania Laplace'a. n Ustalmy ξ ∈ R . Niech v b¦dzie rozwi¡zaniem równania Laplace'a (na n caªym R ) zale»nym tylko od r = kx − ξk. Oznaczaj¡c v(x) = ψ(r) otrzymujemy nast¦puj¡ce równanie ró»niczkowe zwyczajne ψ 00 (r) + n−1 0 ψ (r) = 0. r Rozwi¡zuj¡c je otrzymujemy ψ 0 (r) = Cr1−n , co daje ψ(r) = C ln r Cr2−n 2−n dla n = 2, dla n3 (plus dowolna staªa; odt¡d zakªadamy, »e jest ona równa zeru). Ω jest obszarem ograniczonym takim, »e zachodz¡ to»samo±ci u b¦dzie funkcj¡ klasy C 2 na Ω̄, i ustalmy ξ ∈ Ω. Dalej, niech % > 0 b¦dzie tak maªe, »e kula domkni¦ta B̄(ξ; %) o ±rodku w ξ i promieniu % jest zawarta w Ω. Oznaczmy przez S(ξ; %) sfer¦ o ±rodku w ξ i promieniu %, i niech Ω% := Ω \ B̄(ξ; %). Zauwa»my, »e ∆v = 0 na Ω̄% . Zatem druga to»samo±¢ Greena daje nam Zaªó»my, »e Greena. Niech Z v∆u dx = Ω% Na S(ξ; %) Z v ∂Ω Z ∂v ∂v ∂u ∂u −u −u dS + v dS. ∂n ∂n ∂n ∂n S(ξ;%) v = ψ(%) i ∂v/∂n = −ψ 0 (%) = −C%1−n . + teraz badali co sie dzieje, gdy % → 0 . mamy B¦dziemy Jedn¡ z caªek przeksztaªcamy, korzystaj¡c z to»samo±ci (6.1), do postaci Z S(ξ;%) Z ∂u v dS = ψ(%) ∂n S(ξ;%) Z ∂u dS = −ψ(%) ∂n ∆u dx. B̄(ξ;%) Jako »e ∆u jest ci¡gªe na B̄(ξ; %), caªka z ∆u po kuli B̄(ξ; %) d¡»y, przy % → 0+ , do zera z szybko±ci¡ %n . Z drugiej strony, −ψ(%) d¡»y do niesko«czono±ci 2−n jak % (przy n > 2 lub jak − ln % (przy n = 2). Ostatecznie, powy»sze + wyra»enie d¡»y do zera przy % → 0 . Caªk¦ Z S(ξ;%) u ∂v dS ∂n 65 Równania Laplace'a i Poissona szacujemy w nast¦puj¡cy sposób 1−n C% ( min u)ωn % n−1 ¬− S(ξ;%) Z u S(ξ;%) ∂v dS ¬ C%1−n (max u)ωn %n−1 , S(ξ;%) ∂n gdzie ωn oznacza (n − 1)-wymiarowe pole powierzchni sfery jednostkowej w Rn . Zatem, przy % → 0+ , caªka ta d¡»y do Cωn u(ξ). C = 1/ωn , Odt¡d zakªadamy, »e czyli ln r 2π ψ(r) = r2−n ωn (2 − n) dla n = 2, dla n 3. Teraz dowodzimy, »e Z v∆u dx → 0 przy % → 0+ . B̄(ξ;%) Poniewa» ∆u B̄(ξ; %), jest funkcj¡ ci¡gª¡ na Z v dx → 0 przy wystarczy pokaza¢, »e % → 0+ . B̄(ξ;%) Istotnie, pewne twierdzenie z teorii caªki (na przykªad, Twierdzenie 4 na str. 599 ksi¡»ki: L. C. Evans, Równania ró»niczkowe zwyczajne , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002) zastosowane do funkcji Z v dx = ωn Z% 0 B̄(ξ;%) Zatem Z % R r ln r dr ψ(r)rn−1 dr = 0 R% 1 2−n v∆u dx → Ω% Z v∆u dx r dr, v daje gdy n=2 gdy n 3. 0 przy % → 0+ . Ω Otrzymali±my wzór Z Ω Oznaczmy (6.2) v∆u dx = Z ∂Ω K(x; ξ) := ψ(kx − ξk). u(ξ) = Z Ω K(x; ξ)∆u dx − ∂u ∂v −u dS + u(ξ). ∂n ∂n v Powy»szy wzór przybiera posta¢ Z ∂Ω ∂u ∂K(x; ξ) K(x; ξ) − u(x) dSx , ∂nx ∂nx 66 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski gdzie ξ ∈ Ω. Natomiast, gdy Z ξ∈ / Ω̄, K(x; ξ)∆u dx − Ω zachodzi Z ∂K(x; ξ) ∂u − u(x) dSx = 0 ∂nx ∂nx K(x; ξ) ∂Ω (wniosek z drugiej to»samo±ci Greena). Gdy u Ω, jest ponadto harmoniczna na obszarze wzór (6.2) przyjmuje posta¢ u(ξ) = − (6.3) Z ∂Ω Zauwa»my, »e funkcja ∂K(x; ξ) ∂u − u(x) dSx , K(x; ξ) ∂nx ∂nx K(x, ξ) jest klasy C∞ wzgl¦dem x i ξ Zatem praw¡ stron¦ powy»szej równo±ci mo»na ró»niczkowa¢, x 6= ξ . wzgl¦dem ξ , gdy pod znakiem caªki dowolnie wiele razy. K(x, ξ) mo»na w oczywisty sposób przedªu»y¢ na zbiór { (x, ξ) ∈ C × C : x 6= ξ }. Taka przedªu»ona funkcja jest ró»niczkowalna w sensie zespolonym, i wynika st¡d, »e u jest rzeczywist¡ funkcj¡ analityczn¡ n zmiennych rzeczywistych.(3) Co wi¦cej, funkcj¦ u niekoniecznie jest harmoniczzamiast K(x, ξ) we¹miemy Powró¢my teraz do to»samo±ci (6.2), gdy na. To»samo±¢ ta jest nadal speªniona, gdy G(x, ξ) = K(x, ξ) + w(x), gdzie w jest funkcj¡ klasy C2 na Ω̄, harmoniczn¡ na Ω (jest to znów wniosek z drugiej to»samo±ci Greena), Powy»sza uwaga znajdzie zastosowanie pó¹niej, przy konstrukcji tzw. Ω to kuG(x, ξ) = ψ(kx − funkcji Greena. Na razie, rozpatrzmy szczególny przypadek, gdy B(ξ; %), o ±rodku w ξ i promieniu % > 0, ξk) − ψ(%). Na sferze S(ξ; %) zachodzi la otwarta G ≡ 0, za± 1 1−n ∂G = ψ 0 (%) = % . ∂nx ωn Zatem (6.4) u(ξ) = Z B(ξ;%) (3) (ψ(kx − ξk) − ψ(%))∆u dx + Z 1 ωn %n−1 u(x) dSx S(ξ;%) Jest to tylko naszkicowany schemat rozumowania. Peªen dowód wymaga znajomo±ci teorii funkcji holomorcznych wielu zmiennych. 67 Równania Laplace'a i Poissona dla dowolnej funkcji klasy na B(ξ; %), otrzymujemy C2 na B̄(ξ; %). Z 1 u(ξ) = ωn %n−1 (6.5) Gdy u jest ponadto harmoniczna wzór Gaussa o ±redniej arytmetycznej : u(x) dSx . S(ξ;%) Funkcj¦ x 7→ K(x, ξ) nazywamy nia Laplace'a o biegunie w ξ. rozwi¡zaniem fundamentalnym równa- Poj¦cie rozwi¡zania fundamentalnego wpro- wadza si¦ dla dowolnego (liniowego) operatora ró»niczkowego o dostatecznie regularnych wspóªczynnikach. Nie ma tu miejsca na wnikanie w szczegóªy, w ka»dym razie w przypadku równania Laplace'a chodzi o to, »e dla dowolnej ∞ funkcji ϕ klasy C na Ω, o zwartym no±niku zawartym w Ω, ma zachodzi¢ ϕ(ξ) = (6.6) Z K(x; ξ)∆ϕ(x) dx, ξ ∈ Ω, Ω co jest wnioskiem z (6.2). Innym wnioskiem z (6.2) jest u(ξ) = ∆ξ (6.7) wzór Poissona(4) : Z ! K(x; ξ)u(x) dx Ω u klasy C 2 na Ω̄ i ξ ∈ Ω. Dowód wzoru Poissona (6.7) w przypadku, gdy u ma zwarty no±nik zawarty w Ω, polega na zmianie kolejno±ci ró»niczkowania po ξ i caªkowania po x. dla 6.4 Zasada maksimum Ω ⊂ Rn jest obszarem ograniczonym, o brzegu ∂Ω. 2 Niech u : Ω̄ → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡, klasy C na Ω, speªniaj¡c¡ na Ω równanie Poissona ∆u = g , gdzie g > 0. Funkcja u o powy»szych wªasno±ciach musi gdzie± osi¡ga¢ swoj¡ najwi¦ksz¡ warto±¢ na Ω̄. Zaªó»my, »e jest to x ∈ Ω. Zatem ∇u(x) = 0 oraz macierz drugich pochodnych funkcji u w x musi by¢ niedodatnio okre±lona, w szczególno±ci wszystkie pochodne uxj xj musz¡ by¢ w tym punkcie niedodatnie, co daje sprzeczno±¢. Zatem u osi¡ga swoj¡ najwi¦ksz¡ warto±¢ na Ω̄ gdzie± na brzegu ∂Ω. Zaªó»my teraz, »e g 0 na Ω. Rozwa»my funkcj¦ Zaªó»my, »e v(x1 , . . . , xn ) := u(x1 , . . . , xn ) + ε (x1 )2 + . . . + (xn )2 , (4) Nie myli¢ ze wzorem caªkowym Poissona , o którym mowa b¦dzie dalej. 68 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski gdzie ε > 0. Zachodzi ∆v = g + 2nε > 0 na Ω. Zatem, dla ka»dego x ∈ Ω̄, v(x) ¬ max{ u(ξ) + εkξk2 : ξ ∈ ∂Ω } ¬ max{ u(ξ) : ξ ∈ ∂Ω } + εR2 , gdzie R = max{ kξk : ξ ∈ Ω̄}. Ale u(x) ¬ v(x), wi¦c u(x) ¬ max{ u(ξ) : ξ ∈ ∂Ω } + εR2 . ε D¡»¡c z do zera, otrzymujemy u(x) ¬ max{ u(ξ) : ξ ∈ ∂Ω }. Zaªó»my teraz, »e u, ci¡gªa na Ω̄ i klasy C2 Laplace'a. Stosuj¡c powy»sze rozumowanie do min u ¬ u(x) ¬ max u, (Max-S) ∂Ω Jest to tzw. ∂Ω na u Ω, i do speªnia na −u Ω równanie otrzymujemy, »e ∀ x ∈ Ω̄. sªaba zasada maksimum. W szczególno±ci, max |u| = max |u|. ∂Ω Ω̄ Interpretacja zyczna sªabej zasady maksimum. Niech u(x, y, z) oznacza temperatur¦ w punkcie my, »e w ka»dym punkcie (x, y, z) brzegu ∂Ω (x, y, z) temperatura, Ω. Zaªó»f (x, y, z), jest ciaªa utrzymywana niezale»nie od czasu. Je±li ciepªo ani nie jest wytwarzane, ani nie zanika w ciele Ω (nie jest wykluczona wymiana ciepªa poprzez brzeg ∂Ω), to stan stacjonarny temperatury jest rozwi¡zaniem zagadnienia brzegowego Dirichleta ∆u na u na =0 =f Ω ∂Ω. Z zasady maksimum wynika, »e w ka»dym punkcie ciaªa Ω temperatura musi zawiera¢ si¦ pomi¦dzy najmniejsz¡ a najwi¦ksz¡ warto±ci¡ temperatury na brzegu 6.4.1 ∂Ω. Wnioski ze sªabej zasady maksimum Pierwszym wnioskiem ze sªabej zasady maksimum b¦dzie nast¦puj¡cy: 2 Niech u1 , u2 , ci¡gªe na Ω̄ i klasy C na Ω, b¦d¡ rozwi¡zaniami zagadnienia Dirichleta ∆u na u na =g = f, Ω ∂Ω. 69 Równania Laplace'a i Poissona Ω, Wówczas ich ró»nica speªnia równanie Laplace'a na ∂Ω, i jest równa zeru na zatem z (Max-S) wynika, »e jest stale równa zeru na Ω̄. Otrzymali±my zatem alternatywny dowód (warunkowej) jednoznaczno±ci rozwi¡zania zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona (przy sªabszych zaªo»eniach ni» przy wykorzystywaniu to»samo±ci energetycznej). Zajmiemy si¦ teraz oszacowaniem normy rozwi¡zania powy»szego zagadnienia Dirichleta w terminach norm funkcji jest ci¡gªa na f i g (zakªadamy ponadto, »e g Ω̄). Zauwa»my, »e zachodzi ∆ u+ 1 2n max |g| kxk2 0. Ω̄ Zatem u(x) + 1 2n max |g| kxk2 ¬ max |f | + ∂Ω Ω̄ Stosuj¡c analogiczne rozwa»ania do −u 1 R2 2n max |g| ∀ x ∈ Ω. Ω̄ otrzymujemy, »e |u(x)| ¬ max |f | + n1 R2 max |g| ∀ x ∈ Ω. ∂Ω Ω̄ Z liniowo±ci równania wynika, »e je±li niewiele zaburzymy przestrzeni Banacha Banacha Banacha C(Ω̄)), C(Ω̄)). C(∂Ω)), i niewiele zaburzymy g f (w normie (w normie przestrzeni to rozwi¡zanie niewiele si¦ zmieni (w normie przestrzeni Oczywi±cie, musimy mie¢ zagwarantowane, »e rozwi¡zanie w ogóle istnieje. 6.4.2 Mocna zasada maksimum Okazuje si¦, »e zachodzi nast¦puj¡ca mocna zasada maksimum : Twierdzenie 6.1. Zaªó»my, »e u : Ω̄ → R jest funkcj¡ ci¡gª¡ na Ω̄, klasy C 2 na Ω, i tak¡, »e ∆u 0 na Ω. Wówczas je±li u osi¡ga sw¡ najwi¦ksz¡ warto±¢ na Ω̄ w pewnym punkcie z Ω, to jest staªa. Dowód. Oznaczmy M := max{ u(x) : x ∈ Ω̄ }. Obszar Ω jest sum¡ rozª¡czn¡ dwóch zbiorów Ω1 := { x ∈ Ω : u(x) = M }, To, »e zbiór »e zbiór Ω1 Ω2 Ω2 := { x ∈ Ω : u(x) < M }. u. Wyka»emy teraz, % > 0 b¦dzie takie, »e jest otwarty, wynika z ci¡gªo±ci funkcji te» jest otwarty. We¹my ξ ∈ Ω1 , i niech 610 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski B̄(ξ; %) ⊂ Ω. Stosuj¡c wzór (6.4) do B(ξ; r), gdzie 0 < r ¬ %, otrzymujemy, »e Z 1 ωn rn−1 M = u(ξ) ¬ u(x) dSx . S(ξ;r) supS(ξ;r) u ¬ M , M na kuli B(ξ; %). Ale zatem jedyna mo»liwo±¢ to taka, »e u jest stale równe Ω jest sum¡ rozª¡czn¡ zbiorów otwartych Ω2 . Zatem jeden z tych zbiorów musi by¢ pusty. Je±li Ω1 jest pusty, funkcja u przyjmuje najwi¦ksz¡ warto±¢ na Ω̄ tylko gdzie± na brzegu ∂Ω. Je±li Ω2 jest pusty, u jest staªa. Otrzymali±my wi¦c, »e obszar Ω1 i Je±li do −u u jest ponadto harmoniczna na otrzymujemy warto±¢ na Ω̄ Ω, to stosuj¡c powy»sze twierdzenie mocn¡ zasad¦ minimum : je±li u osi¡ga sw¡ najmniejsz¡ w pewnym punkcie z Ω, to jest staªa. Warto wspomnie¢, ze idea dowodu powy»szego twierdzenia mo»e posªu»y¢ przy dowodzie nast¦puj¡cej wersji mocnej zasady maksimum/minimum: Twierdzenie 6.2. Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem. Je±li funkcja u, harmoniczna na Ω, ma w jakim± punkcie ξ ∈ Ω ekstremum lokalne, to jest staªa. Istotnie, rozumuj¡c przy wykorzystaniu wzoru Gaussa o ±redniej arytmetycznej (6.5) otrzymujemy, »e w punkcie ξ. jest staªa na pewnej kuli otwartej o ±rodku Za± z analityczno±ci wynika, »e je±li otwartym podzbiorze obszaru 6.5 u Ω, u jest staªa na pewnym to jest staªa na caªym Ω. Funkcje Greena Rozwa»my zagadnienie Dirichleta (6.8) gdzie Ω ⊂ Rn ∆u na u na =0 =f Ω, ∂Ω, jest obszarem ograniczonym, o brzegu ∂Ω klasy C 2 (5) Niech G(x; ξ) = K(x; ξ) + v(x; ξ), (5) Mówimy, »e brzeg ∂Ω jest klasy C 2 , je±li dla ka»dego punktu x̃ ∈ ∂Ω istnieje otoczenie U tego punktu takie, »e przekrój ∂Ω ∩ U jest wykresem xi = ψ(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ), gdzie funkcja ψ jest klasy C 2 . 611 Równania Laplace'a i Poissona v gdzie funkcja speªnia, dla ustalonego ξ ∈ Ω, równanie ∆x v = 0 na Ω. Zachodzi wzór u(ξ) = − ∂G(x; ξ) ∂u − u(x) dSx . G(x; ξ) ∂nx ∂nx Z ∂Ω G(x; ξ) = 0 dla x ∈ ∂Ω, ξ ∈ Ω. Funkcj¦ G o takich wªasno±ciach nazywamy funkcj¡ Greena dla operatora Laplace'a i obszaru Ω. Gdyby udaªo nam si¦ znale¹¢ funkcj¦ Greena G(x; ξ) dla obszaru Ω, wów- Chcieliby±my ponadto, by czas rozwi¡zanie zagadnienia (6.8) wyra»aªoby si¦ wzorem u(ξ) = Z f (x) ∂Ω ∂G(x; ξ) dSx , ∂nx ξ ∈ Ω. Szukanie funkcji Greena jest rzecz¡, w zasadzie, bardzo trudn¡: chodzi o znalezienie caªej rodziny (parametryzowanej punktem ξ) rozwi¡za« zagad- nienia Dirichleta. Poni»ej znajdziemy funkcj¦ Greena dla kuli. Niech Ω = B(0; a), gdzie a > 0. Ustalmy ξ ∗ := ξ ∈ B(0; a) \ {0}, i oznaczmy a2 ξ. kξk2 Zachodzi kx − ξ ∗ k a = = const kx − ξk kξk Przypomnijmy, »e (dla K(x, ξ) = Dla dla wszystkich x ∈ S(0; a). n > 2) 1 kx − ξk2−n , (2 − n)ωn K(x, ξ ∗ ) = x ∈ ∂Ω: a kξk ∗ K(x, ξ ) = 1 kx − ξ ∗ k2−n . (2 − n)ωn !2−n K(x, ξ). Funkcja a G(x, ξ) := K(x, ξ) − kξk !n−2 jest zatem funkcj¡ Greena dla kuli K(x, ξ ∗ ), B(0; a). x ∈ S(0; a), ξ ∈ B(0; a) 612 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Dla funkcji sona : u harmonicznej na Z u(ξ) = (6.9) B(0; a) otrzymujemy wzór caªkowy Pois- H(x; ξ)u(x) dSx , kxk=a gdzie 1 a2 − kξk2 aωn kx − ξkn H(x; ξ) = jest j¡drem Poissona . Taki sam wzór otrzymuje si¦ dla n = 2. Twierdzenie 6.3. Zaªó»my, »e f jest funkcj¡ ci¡gª¡ na sferze S(0; a). Wówczas funkcja f (ξ) dla kξk = a, u(ξ) = a2 − kξk2 Z aωn kxk=a f (x) dSx kx − ξkn dla kξk < a, jest (1) ci¡gªa na B̄(0; a), (2) klasy C ∞ na B(0; a), (3) harmoniczna na B(0; a). Dowód. (2), jak równie» ci¡gªo±¢ funkcji u na B(0; a) wynikaj¡ z odpowied- nich wªasno±ci j¡dra Poissona, jak równie» z tego, »e mo»na ró»niczkowa¢ pod znakiem caªki. (3) wynika z tego, »e ∆ξ H = 0 dla ξ ∈ B(0; a), x ∈ B(0; a), co mo»na sprawdzi¢ bezpo±rednio. Zauwa»my, »e stosuj¡c wzór caªkowy Poissona do funkcji harmonicznej stale równej 1 otrzymujemy Z H(x; ξ) dS = 1. kxk=a We¹my ζ, ξ , z kζk = a, kξk < a. u(ξ) − f (ζ) = Rozbijamy Z kxk=a H(x; ξ)(f (x) − f (ζ)) dS 613 Równania Laplace'a i Poissona na dwie caªki Z I1 = H(x; ξ)(f (x) − f (ζ)) dS, Z I2 = kxk=a kx−ζk<δ H(x; ξ)(f (x) − f (ζ)) dS. kxk=a kx−ζkδ ε > 0 bierzemy δ = δ(ε) > 0 takie, »e je±li kx − ζk < δ , kxk = a, to |f (x) − f (ζ)| < δ . Wówczas |I1 | < ε (zauwa»my, »e H(x; ξ) > 0). Niech M := max |f |. Zauwa»my, »e w wyra»eniu na j¡dro Poissona mia- Dla S(0;a) nownik jest oddzielony od zera dla (dodatni) d¡»y do zera przy ξ x takich, »e d¡»¡cym do ζ. kx − ζk δ , za± licznik 0 Mo»emy zatem znale¹¢ δ >0 takie, »e H(x; ξ) < 0 (δ zale»y od ε , 2M ωn an−1 ε i δ(ε)). o ile Zatem |I2 | < ωn an−1 Wykazali±my wi¦c, »e kξ − ζk < δ 0 , kx − ζk δ u ε 2M = ε. 2M ωn an−1 jest ci¡gªa w punkcie ζ. Sformuªujemy teraz par¦ wniosków ze wzoru caªkowego Poissona. Po pierwsze, wzór caªkowy Poissona mo»na wykorzysta¢ przy dowodzeniu nast¦puj¡cego faktu: Twierdzenie 6.4. Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem. Je±li funkcja u, ci¡gªa na Ω, ma t¦ wªasno±¢, »e dla dowolnego ξ ∈ Ω i % > 0 takiego, »e B̄(ξ; %) ⊂ Ω zachodzi Z u(ξ) = 1 ωn %n−1 u(x) dSx , S(ξ;%) to jest harmoniczna na Ω. Zaªó»my teraz, dla prostoty rachunków, »e ξ = 0. Ró»niczkuj¡c wzór (6.9) pod znakiem caªki otrzymujemy Z n uξj (0) = ωn an+1 xj u(x) dS. kxk=a Otrzymujemy zatem, w ogólnym przypadku, gdy u jest harmoniczna na obn szarze Ω ⊂ R , a ξ ∈ Ω i % > 0 s¡ takie, »e B̄(ξ; %) ⊂ Ω, »e (6.10) Wnioskiem jest |uξj (ξ)| ¬ n max |u|. % S(ξ;%) twierdzenie Liouville'a : 614 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Twierdzenie 6.5. Je±li u jest harmoniczna i ograniczona na caªym Rn , to jest staªa. Wzór (6.10) uogólnia si¦ na przypadek pochodnych wy»szych rz¦dów. u jest harmoniczna na obszarze Ω ⊂ Rn , a ξ ∈ Ω i Mówi¡c konkretnie, gdy %>0 s¡ takie, »e B̄(ξ; %) ⊂ Ω, ∂ j1 +...+jn u j1 (ξ) ∂ξ . . . ∂ξnjn 1 wówczas zachodzi ne ¬ (j1 + . . . + jn )! % !j1 +...+jn max |u|. S(ξ;%) Z powy»szego oszacowania wynika, »e szereg Taylora (n zmiennych) funkcji u w punkcie ξ jest jednostajnie zbie»ny na pewnym otoczeniu U punktu ξ do tej funkcji. Zaªó»my, »e funkcja u ξ ∈ Ω, odlegªo±¢ tego punktu B̄(ξ; a) ⊂ Ω, gdzie a < d(ξ). Zatem i oznaczmy, dla Wówczas |uξi (ξ)| ¬ i przechodz¡c z a do d(ξ) Ω, d(ξ). jest harmoniczna na ograniczonym obszarze od brzegu ∂Ω przez n max |u|, a kx−ξk=a otrzymujemy |uξi (ξ)| ¬ n sup|u|. d(ξ) Ω Zaªó»my teraz, »e mamy rodzin¦ funkcji harmonicznych na obszarze ograni- Ω, wspólnie ograniczonych. Ustalmy zbiór zwarty K ⊂ Ω. Odlegªo±ci punktów zbioru K od brzegu ∂Ω s¡ ograniczone z doªu przez liczb¦ dodatni¡. Otrzymujemy zatem, »e pochodne funkcji z rodziny na zbiorze K s¡ wspólnie czonym ograniczone. Wykorzystuj¡c metod¦ przek¡tniow¡ wyboru mo»na udowodni¢ nast¦puj¡ce Twierdzenie 6.6. Z rodziny funkcji harmonicznych na obszarze ograniczonym Ω, wspólnie ograniczonej, mo»na wybra¢ podci¡g zbie»ny na ka»dym zwartym podzbiorze Ω do funkcji harmonicznej. Jeszcze jednym wnioskiem ze wzoru caªkowego Poissona jest jedna z wersji nierówno±ci Harnacka(6) : Twierdzenie 6.7. Zaªó»my, »e funkcja nieujemna u jest ci¡gªa na B̄(0; a) i harmoniczna na B(0; a). Wówczas an−2 (a − kξk) an−2 (a + kξk) u(0) ¬ u(ξ) ¬ u(0) ∀ ξ ∈ B(0; a). (a + kξk)n−1 (a − kξk)n−1 (6) (Carl Gustav) Axel Harnack (18511888), matematyk niemiecki. 615 Równania Laplace'a i Poissona 6.6 Funkcje subharmoniczne i superharmoniczne Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem. Mówimy, »e funkcja ci¡gªa u jest subharmoniczna na Ω, je±li dla ka»dego ξ ∈ Ω i % > 0 takiego, »e B̄(ξ; %) ⊂ Ω Niech zachodzi Z 1 u(ξ) ¬ ωn %n−1 u(x) dSx . S(ξ;%) Analizuj¡c dowód twierdzenia 6.1 widzimy, »e jest to w praktyce dowód nast¦puj¡cego wyniku: Twierdzenie 6.8 (Mocna zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych). Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem ograniczonym. Zaªó»my, »e funkcja ci¡gªa u : Ω̄ → R jest subharmoniczna na Ω. Wówczas je±li u osi¡ga sw¡ najwi¦ksz¡ warto±¢ na Ω̄ w pewnym punkcie z Ω, to jest staªa. u jest superharmoniczna B̄(ξ; %) ⊂ Ω zachodzi Analogicznie, funkcja ci¡gªa dego ξ∈Ωi%>0 takiego, »e u(ξ) Z 1 ωn %n−1 na Ω, je±li dla ka»- u(x) dSx . S(ξ;%) 6.7 Uwagi o istnieniu rozwi¡za« Gdy potramy znale¹¢ funkcj¦ Greena dla obszaru Ω, mamy wzór na rozwi¡- zanie zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace'a na tym obszarze. Jednak»e, jak sie mo»na domy±la¢, dla niewielu obszarów mo»na poda¢ funkcj¦ Greena w postaci zamkni¦tej. 6.7.1 Niech Metoda Perrona(7) Ω ⊂ Rn f : ∂Ω → R b¦dzie obszarem ograniczonym, i niech b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡. Szukamy rozwi¡zania zagadnienia brzegowego Dirichleta (6.11) ∆u na u na =0 =f Ω ∂Ω. Przez rozwi¡zanie rozumiemy tutaj funkcj¦ ci¡gª¡ na której obci¦cie do ∂Ω jest równe Rozpatrzmy rodzin¦ subharmoniczne na Ω, V harmoniczn¡ na Ω, f. wszystkich funkcji ci¡gªych oraz speªniaj¡ v(x) ¬ f (x) ∀ x ∈ ∂Ω. (7) Ω̄, Oskar Perron (18801975), matematyk niemiecki. v : Ω̄ → R, które s¡ 616 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Rodzina V jest niepusta (gdy» funkcja staªa równa min∂Ω f nale»y do niej). Z zasady maksimum dla funkcji subharmonicznych wynika, »e funkcje z rodziny V max∂Ω f . % > 0 takie, »e B̄(ξ 0 ; %) ⊂ Ω. s¡ wspólnie ograniczone z góry przez Niech v ∈ V. Ustalmy ξ0 ∈ Ω i Wówczas funkcja v(ξ) Z ṽ(ξ) = H(x − ξ 0 ; ξ − ξ 0 )v(x) dSx dla ξ ∈ Ω \ B(ξ 0 ; %) dla ξ ∈ B(ξ 0 ; %) S(ξ 0 ;%) V te» nale»y do (dowód tego faktu jest do±¢ »mudny). Nast¦pnie dowodzi si¦, »e supremum wszystkich funkcji z rodziny V jest funkcj¡ harmoniczn¡ (jest to najtrudniejsza cz¦±¢ dowodu, wymagaj¡ca odwoªania sie do twierdzenia 6.6). Tak otrzyman¡ funkcj¦ harmoniczn¡ R nazywamy rozwi¡zaniem Perrona u: Ω → zagadnienia (6.11). Teraz trzeba jeszcze wykaza¢, »e otrzymana powy»ej funkcja harmoniczna przedªu»a si¦ w sposób ci¡gªy na brzeg ∂Ω. Ω = f na brzegu ∂Ω w ten sposób, »eby f (0) byªo stale równe zeru na sferze S(0; a), i równe jeden w 0. Wówczas mo»na dowie±¢, »e rozwi¡zanie Perrona takiego zagadnienia jest stale równe zeru na Ω, zatem warunek brzegowy na {0} ⊂ ∂Ω nie mo»e by¢ speªniony. W istocie, zagadnienie (6.11) nie zawsze ma rozwi¡zanie. We¹my B(0; a) \ {0}, i zadajmy Q : Ω̄ → R jest barier¡ wzgl¦dem punktu x ∈ ∂Ω, gdy Q jest subharmoniczna na Ω, Q(x) = 0 oraz Q < 0 na Ω̄\{x}(8) . Punkt x ∈ ∂Ω nazywamy regularnym , gdy istnieje bariera wzgl¦dem x. Dowodzi si¦, »e je±li x ∈ ∂Ω jest punktem regularnym, to dla rozwi¡zania Perrona u zachodzi: u(ξ) → f (x) gdy Ω 3 ξ → x. W istocie, mo»na udowodni¢ nawet wi¦cej: gdy zaªo»ymy tylko, »e f jest funkcj¡ ograniczon¡ na ∂Ω, to gdy punkt regularny x ∈ ∂Ω jest punktem ci¡gªo±ci funkcji f , wówczas dla rozwi¡zania Perrona u zachodzi: u(ξ) → f (x) gdy Ω 3 ξ → x (twierdzenie Mówimy, »e funkcja ci¡gªa Wienera ). W szczególno±ci, wynika st¡d, »e dla obszaru ograniczonego Ω nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne: dla ka»dej funkcji ci¡gªej f na ∂Ω zagadnienie brzegowe (6.11) ma roz- wi¡zanie; (8) wszystkie punkty brzegu ∂Ω sa regularne. Niekiedy barier¦ deniuje si¦ jako funkcj¦ superharmoniczn¡ Q na Ω, Q(x) = 0 oraz Q > 0 na Ω̄ \ {x} 617 Równania Laplace'a i Poissona Podamy teraz par¦ warunków dostatecznych. Dla n = 2, punkt x ∈ ∂Ω jest regularny, je±li mo»na do« doj±¢ z zewn¦trza C 1 bez samoprzeci¦¢; obszaru po krzywej klasy Ω w R2 zawieci¡gªej f na ∂Ω je±li ka»da skªadowa spójno±ci dopeªnienia obszaru ra wi¦cej ni» jeden punkt, to dla ka»dej funkcji zagadnienie brzegowe (6.11) ma rozwi¡zanie. Dla dowolnego n, warunkiem gwarantuj¡cym rozwi¡zalno±¢ zagadnie- f : ∂Ω → R jest zewn¦trzny warunek sfery : x ∈ ∂Ω istniej¡ y ∈ Rn i R > 0 takie, »e B̄(y; R)∩ Ω̄ = {x}. nia (6.11) dla ka»dej ci¡gªej dla ka»dego 6.7.2 Niech Metody analizy funkcjonalnej Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem ograniczonym. Szukamy rozwi¡zania zagad- nienia brzegowego Dirichleta ∆u =g u = 0 (6.12) Oznaczmy przez tym w C02 (Ω) na na Ω ∂Ω. zbiór funkcji klasy C2 o zwartym no±niku zawar- Ω. Dla funkcji v ∈ C02 (Ω) i u Z ci¡gªej na v∆u dx = − Ω Z Ω̄ i klasy C2 na Ω zachodzi h∇v, ∇ui dx, Ω h·, ·i oznacza standardowy 2 Dla u, v ∈ C0 (Ω) oznaczmy gdzie iloczyn skalarny w (u, v) := Z Rn (por. (I-TG)). h∇v, ∇ui dx. Ω (·, ·) jest iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej C02 (Ω). 1 2 Oznaczmy przez H0 (Ω) uzupeªnienie przestrzeni liniowej C0 (Ω) wzgl¦dem iloczynu skalarnego (·, ·). Norm¦ odpowiadaj¡c¡ iloczynowi skalarnemu (·, ·) Tak zdeniowany nazywamy norm¡ Dirichleta . Lemat 6.9 (Nierówno±¢ szaru Ω) taka, »e Z Ω Poincarégo) u2 dx ¬ N Z Ω . Istnieje staªa N > 0 (zale»na od ob- k∇uk2 dx ∀ u ∈ C02 (Ω). 618 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Dowód. Niech zerem na caªy a > 0 b¦dzie [−a, a]n . Ω ⊂ [−a, a]n . takie, »e Przedªu»amy funkcj¦ Z nierówno±ci Schwarza wynika, »e dla dowolnego [−a, a]n zachodzi 2 u (x) = Zx1 !2 ux1 (ξ1 , x2 , . . . , xn ) dξ1 ¬ (x1 + a) −a u x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Zx1 (ux1 (ξ1 , x2 , . . . , xn ))2 dξ1 , −a co jest ograniczone z góry, jednostajnie wzgl¦dem 2a Za x, przez (ux1 (ξ1 , . . . , ξn ))2 dξ1 . −a Zatem Za 2 u dx1 ¬ 4a 2 −a Za (ux1 )2 dx1 , −a co daje, po scaªkowaniu wzgl¦dem pozostaªych Z [−a,a]n u2 dx ¬ 4a2 Z n−1 (ux1 )2 dx ¬ 4a2 [−a,a]n zmiennych, Z k∇uk2 dx. [−a,a]n (uj )∞ j=1 b¦dzie ci¡giem Cauchy'ego wzgl¦dem normy Dirichleta, uj ∈ C02 (Ω̄). Przypomnijmy, »e elementy przestrzeni H01 (Ω) to klasy Niech gdzie równowa»no±ci ci¡gów Cauchy'ego. ∞ Z nierówno±ci Poincarégo wynika, »e, po pierwsze, ci¡g (uj )j=1 jest te» 2 ci¡giem Cauchy'ego w przestrzeni L (Ω), po drugie, je±li dwa takie ci¡gi 1 Cauchy'ego s¡ równowa»ne wzgl¦dem normy w H0 (Ω), to s¡ te» równowa»ne 2 wzgl¦dem normy w L (Ω) 1 Zatem ka»dy element przestrzeni H0 (Ω) mo»emy uto»sami¢ (i to jedno2 znacznie) z pewnym elementem przestrzeni L (Ω). Zapisujemy to jako H01 (Ω) ,→ L2 (Ω), H01 (Ω) zanurza si¦ w sposób ci¡gªy w L2 (Ω). Zauwa»my, »e 1 2 istotnie jest to ograniczone odwzorowanie liniowe z H0 (Ω) w L (Ω), o normie nie wi¦kszej ni» 2a. i mówimy, »e Powró¢my teraz do wyj±ciowego zagadnienia (6.12). Rozwi¡zanie tego u ∈ H01 (Ω) takim, »e dla ka»dego v ∈ zagadnienia b¦dziemy uto»samiali z H01 (Ω) zachodzi (u, v) = − Z Ω gv dx. 619 Równania Laplace'a i Poissona Wyra»enie v 7→ − Z gv dx Ω deniuje ograniczony funkcjonaª liniowy na przestrzeni Hilberta H01 (Ω). Istot- nie, szacujemy Z − Ω gv dx ¬ kgkL2 (Ω) kvkL2 (Ω) ¬ 2akgkL2 (Ω) kvkH01 (Ω) . Na podstawie twierdzenia RieszaFrécheta, istnieje (u, v) = − Z u ∈ H01 (Ω) takie, »e gv dx ∀ v ∈ H01 (Ω). Ω Otrzymane powy»ej u mo»na interpretowa¢ jako rozwi¡zanie sªabe zagad- nienia (6.12). Gdy ∆u = g g jest funkcj¡ ci¡gª¡ na na Ω̄, dowodzi si¦, »e u jest klasy C2 na Ω, i »e Ω. Gdy ponadto brzeg w sposób ci¡gªy zerem ∂Ω jest klasy C 2 , dowodzi si¦, »e u mo»na przedªu»y¢ na ∂Ω (dowody tych faktów s¡ do±¢ skomplikowane).