Pochodne cząstkowe i wielokrotne całkowanie 1. Oblicz pochodne

Pochodne cząstkowe i wielokrotne całkowanie
∂f ∂f
∂x , ∂y
1. Oblicz pochodne cząstkowe
funkcji : f (x, y) = 3xy 2 − 5ysinx.
2. Oblicz następujące całki wielokrotne:
2
Z
2x
Z
(3x2 + (y − 2)2 )dydx
0
0
4
Z
Z
2
(x + 2y)dxdy
0
Z
3
−3
√
Z
y/2
9−x2
Z
√
− 9−x2
3+y
(z 2 )dzdydx
x+y
3. Znajdź punkty krytyczne oraz siodłowe funkcji f (x, y) = x4 − 3x2 − 2y 3 +
3y + 0.5xy.
4. Znajdź maksimum oraz minimum funkcji f (x, y) = (x − 2)y + y 2 przy
warunku x2 + y 2 = 1.
5. Oblicz całkę
Z Z
e(x
2
+y 2 )
dA
D
gdzie D jest wycinkiem koła zdefiniowanym przy pomocy współrzędnych
biegunowych 0 ¬ r ¬ 1 i π/4 ¬ θ ¬ π/2.
6. Sprawdź za pomocą programu Mathematica czy obszar całkowania zdefiniowany następująco
0¬x¬
1
i 2x2 ¬ y ¬ x
2
jest poprawnie zdefiniowany.
1