Wykład 2: Szeregi Fouriera
Transkrypt
Wykład 2: Szeregi Fouriera
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 2: Szeregi Fouriera Definicja. Niech f (t) będzie funkcją określoną na R, okresową o okresie 2T (tzn. f (t + 2T ) = f (t) dla każdego t ∈ R) oraz całkowalną na przedziale [−T, T ]. Definiujemy ciągi (an ), (bn ): a0 T 1 Z = f (t)dt, T −T an T nπt 1 Z f (t) cos = dt, T T −T bn T 1 Z nπt f (t) sin dt, = T T −T n = 1, 2, . . . Szereg postaci ∞ nπt a0 X nπt + + bn sin an cos 2 T T n=1 nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f (t). Uwaga. • Jeżeli f (t) jest funkcją parzystą na przedziale [−T, T ], to bn = 0 dla każdego n = 1, 2, . . . i w szeregu Fouriera tej funkcji nie występują sinusy. • Jeżeli f (t) jest funkcją nieparzystą na przedziale [−T, T ], to an = 0 dla każdego n = 0, 1, 2, . . . i w szeregu Fouriera tej funkcji nie występują cosinusy i wyraz początkowy. 1 Twierdzenie: Załóżmy, że f (t) określona na R, ograniczona, okresowa o okresie 2T spełnia warunki Dirichleta tzn. (1) przedział [−T, T ] można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że f (t) jest ciągła i monotoniczna na wnętrzu każdego z nich; (2) dla każdego t mamy f (t−) + f (t+) , 2 gdzie granice f (t±) = lim f (x) są właściwe. f (t) = x→t± Wtedy dla każdego t mamy ∞ a0 X nπt nπt f (t) = + an cos + bn sin 2 T T n=1 gdzie po prawej stronie równości znajduje się szereg Fouriera funkcji f . Uwaga. • Warunek (2) jest spełniony w każdym punkcie ciągłości funkcji f . W punktach nieciągłości oznacza on, że zakładamy występowanie jedynie nieciągłości pierwszego rodzaju i że jako wartość funkcji w takim punkcie przyjmujemy średnią arytmetyczną granic jednostronnych. • Teza twierdzenia zachodzi także, gdy przyjmiemy inne założenia o funkcji f , np. zamiast (1) założyc można, że f jest kawałkami klasy C 1 (ciągła lub nieciągła). 2 Zespolony szereg Fouriera: Inna postać szeregu Fouriera to f (t) = ∞ X πt cn ein T , n=−∞ gdzie T πt 1 Z cn = f (t)e−in T dt. 2T −T (Symbol eix oznacza liczbę zespoloną cos x + i sin x w tzw. postaci wykładniczej.) Zauważmy, że c0 = an − ibn an + ibn a0 , cn = oraz c−n = dla n 1. 2 2 2 Interpretacja: t - czas f (t) - sygnał okresowy (cn ) - widmo sygnału f nπt nπt cos . Mają ν = , sin to funkcje okresowe o okresie 2T n T T w odcinku [0, 1], czyli częstotliwość ν Hz (ν okresów na sekundę). 3 n 2T okresów Przykład 1: Sygnał o przebiegu prostokątnym, okresowy o okresie 2T : 1 dla 0 < t < T f (t) = −1 dla −T < t < 0 0 dla t = −T, 0, T. • Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta. • Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja nieparzysta. Zatem an = 0 dla każdego n = 0, 1, . . .. Obliczamy bn : T T T 1 Z 2Z 2 T nπt nπt nπt = bn = dt = dt = − cos f (t) sin sin T T T T T nπ T 0 −T 0 n 2(1 − cos(nπ)) 2(1 − (−1) ) = = = nπ nπ ( 4 nπ dla n = 2k − 1 , k = 1, 2, . . . 0 dla n = 2k • Zatem sygnał prostokątny rozwija się w następujący szereg Fouriera: ∞ ∞ 2X 1 − (−1)n 4X 1 (2k − 1)πt nπt f (t) = sin = sin π n=1 n T π k=1 2k − 1 T 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −1.5 −2 −1 0 1 2 −1.5 −2 3 sygnal o przebiegu prostokatnym −1 0 1 2 3 suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu ilosc skladnikow N=1, 2, 3 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −1.5 −2 −1 0 1 2 3 suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu ilosc skladnikow N=10 −1.5 −2 4 −1 0 1 2 3 suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu ilosc skladnikow N=100 ! Przykład 2: Sygnał trójkątny, okresowy o okresie 2T : ( t dla 0 < t ¬ T −t dla −T ¬ t < 0. f (t) = • Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta. • Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja parzysta. Zatem bn = 0 dla każdego n = 1, 2, . . .. Obliczamy an : T T 1 Z 2Z a0 = f (t)dt = tdt = T T T 1 an = T = 2 nπ −T ZT −T 0 nπt 2 f (t) cos dt = T T ZT nπt 2 t cos dt = T T 0 T cos nπ T T nπt t sin − nπ T 0 ZT 0 ( T nπt 2T ((−1)n − 1) − n4T dla n = 2k − 1 2 π2 , k = 1, 2, . . . = = 2 2 0 dla n = 2k T n π 0 • Zatem sygnał trójkątny rozwija się w następujący szereg Fouriera: ∞ ∞ T 2T X 1 − (−1)n T 4T X 1 (2k − 1)πt nπt f (t) = + 2 cos = − 2 cos 2 2 2 π n=1 n T 2 π k=1 (2k − 1) T 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −3 −2 −1 0 1 2 −0.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu ilosc skladnikow N=1 3 sygnal trojkatny 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu ilosc skladnikow N=3 −0.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu ilosc skladnikow N=10 5 nπt sin dt = T ! Przykład 3: Sygnał o przebiegu piłowym, okresowy o okresie 2T : ( f (t) = t dla −T < t < T 0 dla t = −T, T. • Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta. • Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja nieparzysta. Zatem an = 0 dla każdego n = 0, 1, . . .. Obliczamy bn : 1 bn = T ZT −T = nπt 2 f (t) sin dt = T T T 2 −(−1)n T + sin nπ nπ ZT 2 nπt dt = t sin T T 0 T nπt 2T (−1)n+1 = T nπ 0 • Zatem sygnał piłowy rozwija się w następujący szereg Fouriera: ∞ (−1)n+1 2T X nπt sin f (t) = π n=1 n T 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −1.5 −3 −2 −1 0 1 2 −1.5 −3 3 −2 −1 0 1 2 3 suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu ilosc skladnikow N=1, 3 sygnal o przebiegu pilowym 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −1.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu ilosc skladnikow N=10 −1.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu ilosc skladnikow N=100 6 T T nπt −t cos + nπ T 0 ZT 0 nπt cos dt = T