Krzysztof Ciesielski Blisko czy daleko? Czy z Krakowa jest bli˙zej do

Krzysztof Ciesielski
Blisko czy daleko?
Czy z Krakowa jest bliżej do Warszawy, czy do Zakopanego? Pytanie wydaje sie¸
absurdalne, różnica miedzy
¸
odpowiednimi odleglościami jest tak duża, iż nie trzeba patrzeć
na mape,
¸ by stwierdzić, że Warszawa jest dalej. Nie należy jednak wyciagać
¸
wniosków zbyt
pochopnie...
Pociag
¸ ekspressowy z Krakowa do Warszawy jedzie 2 godziny 35 minut. Z Krakowa
do Zakopanego – różnie, w zależności od tego, którym chcemy podróżować, ale najszybszy
z nich przebywa swoja¸ trase¸ w ciagu
¸ 2 godzin 41 minut. Cóż wiec
¸ z tego, że na mapie
Warszawa jest znacznie dalej? Dla korzystajacych
¸
z kolei dalej jest Zakopane. Logiczne
jest określenie: bliżej – to znaczy, że szybciej sie¸ tam możemy dostać.
Z kolei automobilista nie bedzie
¸
liczyl ani odleglości na mapie w linii prostej, ani
czasu przejazdu pociagu.
¸
Jego bedzie
¸
interesować dlugość trasy na mapie samochodowej
Polski. Miedzy
¸
Maciejowicami a Ryczywolem jest w linii prostej okolo 10 kilometrów. Ale
po drodze jest Wisla! Najkrótsza droga Maciejowice–Ryczywól przebiega przez most w
Deblinie
¸
i odleglość zwieksza
¸
sie¸ do ponad 60 kilometrów.
Mówiac
¸ ”odleglość” niekoniecznie musimy mieć na myśli dlugość odcinka lacz
¸ acego
¸
dwa punkty. Robimy to zreszta¸ regularnie nawet w geografii, nie zdajac
¸ sobie być może
z tego sprawy. Jak mierzymy droge¸ z Krakowa do Melbourne? W linii prostej? Przechodzilibyśmy wtedy przez środek planety! Badamy dlugość luku na sferze, na powierzchni
Ziemi.
Powyższe przyklady przekonuja,
¸ że odleglości moga¸ być różne. Nie jest wiec
¸ zaskakuja¸
cym, że można rozważać ogólna¸ definicje.
¸ Tak wlaśnie robi sie¸ w matematyce. Odleglość
możemy wprowadzić w dowolnym zbiorze; musi ona spelniać naturalne warunki:
– odleglość musi być określona dla dowolnych dwóch punktów zbioru;
– odleglość punktu od niego samego wynosi 0, odleglość dwóch różnych punktów jest
liczba¸ dodatnia;
¸
– odleglość jest symetryczna, to znaczy odleglość z punktu A do B jest taka sama, jak
z B do A;
– zachodzi warunek trójkata,
¸ to znaczy suma odleglości miedzy
¸
A i C oraz C i B jest
wieksza
¸
lub równa od odleglości miedzy
¸
A i B (to znaczy, jeśli idziemy z A do B i chcemy
po drodze odwiedzić C, to możemy co najwyżej dlugość trasy wydlużyć).
Taka¸ odleglość matematycy nazywaja¸ metryka¸ w zbiorze, zaś caly zbiór – przestrzenia¸
metryczna.
¸ Pojecie
¸ to jest dziś w matematyce podstawowe, choć pojawilo sie¸ dopiero w
XX wieku. Wprowadzil je w roku 1906 Maurice Fréchet, a rozwina¸l, kilka lat później, Felix Hausdorff. Przy okazji warto zaznaczyć, że w ciagu
¸ ostatnich dwustu lat matematyka
ulegla ogromnemu przeobrażeniu. Do końca wieku XVIII badano glównie liczby, figury
geometryczne, konkretne funkcje... Dziś matematyka wyższa zajmuje sie¸ przede wszystkim strukturami ogólnymi, których szczególnymi przykladami sa¸ miedzy
¸
innymi zbiory
liczbowe, plaszczyzna, rodziny pewnych funkcji.
Pierwszy próby definiowania ogólnych pojeć
¸ mialy miejsce w XIX wieku. Prawdziwa
eksplozja rozpocze¸la sie¸ jednak na poczatku
¸
wieku XX. Stalo sie¸ to możliwe przede wszystkim dzieki
¸ badaniom Georga Cantora nad zbiorami. W efekcie powstala teoria, dziś nazy1
wana teoria¸ mnogości, o której bez przesady można powiedzieć, że dostarczyla jezyka
¸
calej
matematyce.
Wróćmy do przestrzeni metrycznych. Ich znaczenie w matematyce znacznie sie¸ zwie¸
kszylo w latach dwudziestych, ze wzgledu
¸ na rozmaite badania (w szczególności prace
Stefana Bamacha), w których – jak sie¸ okazalo – pojecie
¸ metryki mialo wielkie znaczenie. Dzieki
¸ wprowadzeniu przestrzeni metrycznych można bylo ujednolicić rozmaite fakty,
wcześniej znane (lub jedynie przypuszczane), dotyczace
¸ rozmaitych tworów matematycznych.
Obecnie raczej trudno mówić o teorii tych przestrzeni, gdyż uogólnienia poszly znacznie dalej (lub interesujacymi
¸
okazaly sie¸ przestrzenie spelniajace
¸ dodatkowe aksjomaty).
Tym niemniej metryki wystepuj
¸ a¸ w niejednej teorii matematycznej i graja¸ tam niebagatelna¸
role.
¸ Można śmialo powiedzieć, że bez przestrzeni metrycznych nie byloby wspólczesnej
matematyki.
2