Pobierz artykuł PDF

WPŁYW NIELINIOWOCI KWADRATOWEJ NA DYNAMIK UKŁADU
MECHANICZNEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY – CZ III REZONANSE
ROBERT KOSTEK
Streszczenie
W artykule tym przedstawiono wpływ nieliniowoci kwadratowej, siły sprystoci na dynamik układu mechanicznego. W tej czci badano zjawisko rezonansu.
Zaobserwowano w badanym układzie: zaginanie piku rezonansu głównego, bistabilno, pojawienie si kaskady bifurkacji prowadzcej do chaosu na gałzi rezonansu
głównego, zanik bistabilnoci i pojawienie si rozwiza niestabilnych, ograniczenie
amplitudy drga, rezonanse ultraharmoniczne. Wymienione zjawiska nie s obserwowane w układach liniowych, dlatego modele liniowe nie powinny by stosowane do
opisu układów nieliniowych.
Słowa kluczowe: dynamika nieliniowa, nieliniowoĞü kwadratowa
Wprowadzenie
Równanie róĪniczkowe opisujące drgania wymuszone przedstawiono poniĪej:
d 2 x Fw
dx
=
= m −1 ( Fs ( x) + Fd ( ) + Fe (t )) ,
2
dt
m
dt
(1)
2
gdzie: x – oznacza przemieszenie ciała m, t – czas s, a, x, d x – przyĞpieszenie ciała m/s2,
dt 2
dx – prĊdkoĞü ciała m/s, Fs –siłĊ sprĊĪystoĞci N, Fd – siłĊ tłumienia, natomiast Fe – jest siłą
v , x ,
dt
wymuszającą. Równanie to przedstawia ideowy opis drgaĔ, poniewaĪ funkcje nie zostały zdefiniowane. Dopiero po zdefiniowaniu sił moĪna rozwaĪaü metody rozwiązania równania. Badany układ
zawiera wyraz kwadratowy opisujący siłĊ sprĊĪystoĞci k2x2, dlatego drgania te są nieliniowe. Analizowane równanie róĪniczkowe zostało przedstawione poniĪej:
d 2x
dx
= m−1 (−k1x − k2 x 2 − c + Pe max sin(2πfet )) ,
2
dt
dt
(2)
gdzie: k1 – oznacza współczynnik sztywnoĞci liniowej k1=1N/m, k2 – współczynnik sztywnoĞci nieliniowej k2=0,1N/m2, c – współczynnik tłumienia c=0,1 (Ns)/m, Pemax – amplitudĊ siły
wymuszającej N, fe – czĊstotliwoĞü wymuszenia Hz, natomiast m – masĊ m=1kg. W przypadku gdy
k2 =0 drgania są liniowe. Takie równanie umoĪliwia porównanie drgaĔ liniowych i nieliniowych
przez zmianĊ parametru k2. Zmiana tego parametru powoduje inne zachowanie układu. Model fizyczny badanego układu przedstawiono na rys. 1.
78
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 80, 2016
Rysunek 1. Model układu drgajcego, siły : Fs –sprystoci, Fd –tłumienia i Fe – wymuszajca
ħródło: opracowanie własne.
Celem tej pracy jest zaprezentowanie wpływu nieliniowoĞci kwadratowej na dynamikĊ układu
oraz wykazanie Īe nieliniowoĞci powinny byü uwzglĊdniane w modelowaniu dynamiki układów
mechanicznych, dotyczy to szczególnie rezonansu.
1. Ewolucja zjawiska rezonansu
W poprzednich artykułach wykazano Īe czĊstotliwoĞü drgaĔ swobodnych spada wraz ze wzrostem amplitudy i pojawiają siĊ wyĪsze harmoniczne. Takie zachowanie układu powoduje zaginanie
siĊ piku rezonansu głównego w kierunku niĪszych czĊstotliwoĞci oraz pojawienie siĊ rezonansów
ultraharmonicznych. Wzrost amplitudy wymuszenia powinien powodowaü wzrost amplitudy drgaĔ
oraz intensyfikacje wyĪej wymienionych zjawisk [1].
Przedstawione poniĪej wykresy prezentują ekstrema lokalne przebiegów czasowych przemieszczeĔ uzyskane dla róĪnych czĊstotliwoĞci i amplitud siły wymuszającej (rys. 2–8). Są to
charakterystyki rezonansu [2]. Jako pierwszą zaprezentowano charakterystykĊ uzyskaną dla Pemax
=0,05N (rys. 2a). W tym przypadku wystĊpują niewielkie róĪnice pomiĊdzy charakterystyką układu
liniowego i nieliniowego; dla celów praktycznych moĪna nieliniowoĞü pominąü. Wzrost amplitudy
siły wymuszającej do wartoĞci Pemax =0,10N spowodował przesuniĊcie siĊ piku rezonansu głównego
w kierunku niĪszych czĊstotliwoĞci, zauwaĪalna stała siĊ takĪe asymetria drgaĔ (rys. 2b). ZauwaĪyü
takĪe moĪna pewną nierównoĞü w okolicy połowy czĊstotliwoĞci własnej – ½ rezonansu ultraharmonicznego. Wzrost amplitudy drgaĔ do Pemax =0,15N spowodował dalsze przesuniĊcie piku
rezonansu i zwiĊkszenie amplitudy drgaĔ.
NastĊpnie przebadano charakterystykĊ rezonansu dla nastĊpujących amplitud wymuszenia: Pemax =0,20N (rys. 3a), Pemax =0,25N (rys. 3b), Pemax =0,30N (rys. 3c). Dalszy wzrost amplitudy
wymuszenia spowodował zwiĊkszenie asymetrii drgaĔ, która jest wyraĨna w stosunku do drgaĔ liniowych. Widaü takĪe Īe maksima rezonansu głównego podąĪają za krzywą szkieletową. Natomiast
rezonans ½ harmoniczny wciąĪ jest trudny do zauwaĪenia.
79
Robert Kostek
Wpływ nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego
o jednym stopniu swobody – cz III rezonanse
a)
b)
c)
Rysunek 2. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,05N a), Pemax =0,10N b), Pemax =0,15N c)
ħródło: opracowanie własne.
80
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 80, 2016
a)
b)
c)
Rysunek 3. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,20N a), Pemax =0,25N b), Pemax =0,30N c)
ħródło: opracowanie własne.
81
Robert Kostek
Wpływ nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego
o jednym stopniu swobody – cz III rezonanse
a)
b)
c)
Rysunek 4. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,35N a), Pemax =0,40N b), Pemax =0,45N c)
ħródło: opracowanie własne.
82
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 80, 2016
a)
b)
c)
Rysunek 5. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,50N a), Pemax =0,55N b), Pemax =0,60N c)
ħródło: opracowanie własne.
83
Robert Kostek
Wpływ nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego
o jednym stopniu swobody – cz III rezonanse
a)
b)
c)
Rysunek 6. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,65N a), Pemax =0,70N b), Pemax =0,75N c)
ħródło: opracowanie własne.
84
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 80, 2016
a)
b)
c)
Rysunek 7. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,80N a), Pemax =0,85N b), Pemax =0,90N c)
ħródło: opracowanie własne.
85
Robert Kostek
Wpływ nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego
o jednym stopniu swobody – cz III rezonanse
a)
b)
c)
Rysunek 8. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,95N a), Pemax =1,00N b), Pemax =1,05N c)
ħródło: opracowanie własne.
86
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 80, 2016
a)
b)
c)
Rysunek 9. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=1,10N a), Pemax =1,15N b), Pemax =1,20N c)
ħródło: opracowanie własne.
87
Robert Kostek
Wpływ nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego
o jednym stopniu swobody – cz III rezonanse
Dalszy wzrost amplitudy wymuszenia do Pemax =0,35N spowodował, Īe pik rezonansowy z jednej strony stał siĊ stromy z drugiej zaĞ jest łagodniejszy (rys. 4a). To przesuniĊcie piku
rezonansowego prowadzi do pojawienia siĊ bistabilnoĞci, wiĊc dla pewnych czĊstotliwoĞci moĪna
zaobserwowaü dwa rozwiązania stabilne (rys. 4b). W tym układzie wystĊpują takĪe rozwiązania
niestabilne; jedne dąĪy do minus nieskoĔczonoĞci, drugie zaĞ jest okresowe. Dalszy wzrost amplitudy wymuszenia zwiĊksza obszar bistabilnoĞci, zwiĊksza asymetrie drgaĔ, przesuwa pik
rezonansowy w kierunku niĪszych czĊstotliwoĞci i uwydatnia rezonans ½ ultraharmoniczny (rys.
4c).
Kolejne zwiĊkszanie amplitudy wymuszenia powoduje poszerzenie obszaru bistabilnoĞüi (rys.
5ab). Drgania nieliniowe mają wyraĨnie wiĊkszą amplitudĊ od drgaĔ liniowych, wiĊkszy jest takĪe
rezonans ½ harmoniczny. Jest oczywiste Īe model liniowy nie opisuje tych drgaĔ poprawnie. Kolejne zwiĊkszenie amplitudy siły wymuszającej do Pemax =0,60N, powoduje pojawienie siĊ
bifurkacji typu widły na gałĊzi rezonansu głównego (rys. 5c). W efekcie pojawia siĊ kolejne niestabilne rozwiązanie okresowe i obszar bistabilnoĞci staje siĊ mniejszy w stosunku do rys. 5b.
NastĊpnie przebadano rezonans dla nastĊpujących amplitud wymuszenia: Pemax =0,65N, Pemax
=0,70N, Pemax =0,75N. Bifurkacje na gałĊzi rezonansu głównego stały siĊ wyraĨniejsze (rys. 6).
Amplituda rezonansu głównego nie roĞnie poniewaĪ jest ograniczona przez siodło i mieĞci siĊ w
zakresie od xmax =5m do xmin=-10m. Obszar bistabilnoĞci staje siĊ mniejszy, co jest wynikiem ograniczenia amplitudy drgaĔ. Ponad to amplituda rezonansu ½ ultraharmonicznego stała siĊ wiĊksza.
Na rysunku 6c pojawiły siĊ dodatkowe punkty które reprezentują ekstrema wywołane przez drugą
harmoniczną, dotyczy to rezonansu ½ ultaharmonicznego.
Takie same zjawiska jak poprzednio są obserwowane na rys. 7. Obszar bistabilnoĞci staje siĊ
mniejszy a amplituda rezonansu ½ harmonicznego wiĊksza. Ponad to rezonans 1/3 ultra harmoniczny zaczyna siĊ pojawiaü. Jego czĊstotliwoĞü w przybliĪeniu wynosi jedną trzecią czĊstotliwoĞü
własnej.
NastĊpnie przebadano rezonans dla wiĊkszych amplitud wymuszenia, które wynosiły Pemax
=0,95N (rys.8a), Pemax =1,00N (rys.8b), Pemax =1,05N (rys.8c). W tym przypadku znikł obszar bistabilnoĞci, a zamiast tego pojawił siĊ obszar bez rozwiązaĔ okresowych. W tym przedziale
rozwiązania dąĪą do minus nieskoĔczonoĞci. Ponad to rezonanse ultlaharmoniczne stały siĊ jeszcze
wiĊksze. Ich czĊstotliwoĞci są przesuniĊte w kierunku mniejszych czĊstotliwoĞci w stosunku do
czĊstotliwoĞci teoretycznych, poniewaĪ w tym kierunku przemieszcza siĊ rezonans główny. Model
liniowy nie pasuje do opisu tych drgaĔ co widaü na rys. 8. NaleĪy wspomnieü ze bifurkacje na gałĊzi
rezonansu głównego były badane w poprzednim artykule; zauwaĪono kaskadĊ bifurkacji prowadzącą do chaosu Pemax =1,00N.
Dalszy wzrost amplitudy wymuszenia prowadzi do zwiĊkszenia obszaru bez rozwiązaĔ okresowych, w wyniku czego rezonans główny zanika (rys. 9). Natomiast amplitudy rezonansów
ultlaharmonicznych ½, 1/3 i ¼ stają siĊ wiĊksze.
3. Podsumowanie
W artykule tym przedstawiono w sposób syntetyczny róĪnice pomiĊdzy rezonansem układu
liniowego i rezonansami układu nieliniowego o jednym stopniu swobody. Wiedza ta jest przydatna
w projektowaniu maszyn i wyjaĞnianiu dynamiki układów mechanicznych. Wiele zjawisk które
utrudniają diagnozowanie maszyn, na przykład bistabilnoĞü, moĪna wyjaĞniü na podstawie dynamiki nieliniowej. Wiedza na ten temat nie jest rozpowszechniona wĞród diagnostów.
88
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 80, 2016
W badanym układzie zaobserwowano: wzrost amplitudy rezonansu głównego, zaginanie piku
rezonansu głównego, bistabilnoĞü i pojawienie siĊ kaskady bifurkacji prowadzącej do chaosu na
gałĊzi rezonansu głównego. W efekcie wzrostu amplitudy i pojawienia siĊ bifurkacji ramie rezonansu głównego staje siĊ krótsze, obszar bistabilnoĞü zanika i pojawia siĊ obszar bez rozwiązaĔ
okresowych. Jest to takĪe wynik wystĊpowania siodła, które ogranicza amplitudĊ drgaĔ.
Rezonanse ultlaharmoniczne stają siĊ wyraĨniejsze wraz ze wzrostem amplitudy drgaĔ. Najpierw jest wzbudzana jest druga harmoniczna a potem wyĪsze. Jest to wynik poliharmonicznych
drgaĔ spowodowanych nieliniową charakterystyką.
Stosowanie modeli liniowych powoduje pominiĊcie wyĪej wymienionych zjawisk, co moĪe
prowadziü do znacznych błĊdów, pomyłek w interpretacji wyników i katastrof. CzĊĞü zjawisk obserwowanych w praktyce moĪna wytłumaczyü na postawie teorii drgaĔ nieliniowych.
Bibliografia:
[1]
[2]
Awrejcewicz J., Drgania deterministyczne układów dyskretnych, WNT, Warszawa 1996.
Kostek R., Analysis of the primary and superharmonic contact resonances – Part 1, Journal
of Theoretical and Applied Mechanics, 51, 2, s. 475–486, Warsaw 2013
INFLUENCE OF QUADRATIC SPRING FORCE ON SINGLE DEGREE OF FREEDOM
MECHANICAL SYSTEM DYNAMICS – PART III RESONANCES
Summary
This article presents influence of quadratic spring force on dynamics of single
degree of freedom mechanical system. The following phenomena were observed:
bending resonance peaks, bistability, period doubling cascade leading to chaos, stability being replaced by unstable solutions, limitation of vibration amplitude,
superharmonic resonances, and unstable solutions. These phenomena are not observed in linear system, thus linear models should not be used to describe nonlinear
systems. linearization can lead to large errors..
Keywords: nonlinear dynamics, quadratic nonlinearly
Robert Kostek
Zakład Pojazdów i Dignostyki
Wydział InĪynierii Mechanicznej
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy
e-mail: [email protected]
89