6. STEROWANIE 6.1 Sterowanie minimalno-czasowe 1
Transkrypt
6. STEROWANIE 6.1 Sterowanie minimalno-czasowe 1
6. STEROWANIE 6.1 Sterowanie minimalno-czasowe 1. Ciało o masie m może poruszać się ruchem postępowym pozostając na uwięzi w postaci sprężyny o sztywności k i poruszając się w ośrodku stawiającym opór proporcjonalny do prędkości (współczynnik proporcjonalności wynosi b). Napisać funkcję Hamiltona – Pontriagina oraz równania sprzężone dla następującego zagadnienia sterowania: doprowadzić to ciało w minimalnym czasie do stanu zerowego za pomocą siły zewnętrznej ograniczonej co do modułu. 2. Statek płynie w płaszczyźnie xy przez obszar z silnymi prądami. Prąd ma składowe prędkości u(x, y) w kierunku x oraz v(x,y) w kierunku y. Prędkość statku względem wody ma stałą wartość w, zaś kierunek prędkości względnej zadany jest przez kąt φ między wektorem tej prędkości i osią x (rys.). Traktując statek jako punkt materialny, a kąt φ jako sterowanie, sformułować warunki potrzebne do wyznaczenia takiego prawa sterowania, aby czas przepływu z punktu A do punktu B (z góry danych) był minimalny. Następnie przy założeniu, że składowe prędkości nie zależą od współrzędnej y, wyznaczyć konkretne prawo sterowania statkiem. Wskazówki: 1. w zadaniu tym równanie stanu można uzyskać wyłącznie na podstawie relacji kinematycznych. 2. zastosować ZMP w wersji bez ograniczenia na sterowanie; wówczas dla sterowania optymalnego można przyjąć, że H ≡ 0 . w = const y ϕ( t ) B v u A x 3. Ciało o masie m trzeba transportować za pomocą siły ograniczonej co do wartości F(t ) ≤ F0 z położenia (x0,v0) do położenia -x0 w minimalnym czasie. Podać sposób obliczenia tego czasu. 4. Pojazd, który można zamodelować jako punkt materialny trzeba przeprowadzić w minimalnym czasie do miejsca oddalonego o l, ale tak, aby miał tam prędkość o wartości w. Operację można zrealizować za pomocą silnika, który daje ciąg T∈ < 0, Tmax >, czyli jednostronny. Wszelkie opory ruchu można zaniedbać. Pojazdowi nadano prędkość początkową V0. Uwaga: Wystarczy podać podstawowe zależności potrzebne do rozwiązania zadania oraz plan jego rozwiązania ze szczególnym uwzględnieniem płaszczyzny fazowej dla różnych wartości zwrotów prędkości końcowej. 6.2 Sterowanie liniowo-całkowe 1. Wyznaczyć strategię sterowania, które przeprowadzi układ opisany równaniem x = x + u ze stanu x(0) = x0 do stanu x(1) = 0 i zminimalizuje przy tym wskaźnik jakości 1 1 I = ∫ u 2 dt 20 2. Dla pewnego układu, którego równanie stanu ma postać x = x + u , wyznaczyć 1 1 sterowanie minimalizujące wskaźnik jakości I = ∫ u 4 dt i przeprowadzające układ z 40 położenia x(0 ) = x0 do x(1) = 0 w czasie t ∈ [0,1] . 3. Wirnik silnika elektrycznego prądu stałego należy ustatecznić za pomocą sterowania u = u(ω), gdzie ω - prędkość kątowa wirnika. Przyjąć następujący model ∞ dω 1 = aω + bu , I = ∫ qω2 + ru 2 dt dt 20 gdzie a, b, q, i r – stałe dane. Jakie metody można zastosować do rozwiązania tego zadania. Spróbować podać ich zalety i wady. ( 4. ) Dane są: równanie stanu x = ax + bu ∞ i wskaźnik jakości I= 1 (qx 2 + ru 2 )dt , 2 ∫0 a, b, q, r = const > 0 Wyznaczyć sterowanie stabilizujące (które przeprowadza układ ze stanu początkowego do początku układu.).