Własnosci ergodyczne i spektralne potoków specjalnych nad

Własności ergodyczne i spektralne potoków
specjalnych nad obrotami i przekładaniami
odcinków
Joanna Kułaga
WMiI UMK
3 października 2011
1 / 38
1
Wstęp
2
Problem samopodobieństw
Pojęcia, przykłady
Główny rezultat
3
Silna singularność spektralna
Pojęcia
Rezultaty
4
Własność połączeniowej pierwszości
5
Stabilność izomorfizmu produktów kartezjańskich potoków
2 / 38
Podstawowe obiekty teorii ergodycznej
(X , B, µ) – standardowa borelowska przestrzeń
probabilistyczna,
(Tg )g ∈G – grupa przekształceń przestrzeni (X , B, µ)
zachowujących miarę µ, tzn.
µ(Tg−1 (A)) = µ(A) dla dowolnego A ∈ B,
G = Z – działania wyznaczone przez pojedynczy automorfizm.
G = R – potoki (nałożone pewne warunki mierzalności).
Naturalnym przykładem potoków są potoki pochodzące od
równań różniczkowych.
3 / 38
Podstawowe obiekty teorii ergodycznej
(X , B, µ) – standardowa borelowska przestrzeń
probabilistyczna,
(Tg )g ∈G – grupa przekształceń przestrzeni (X , B, µ)
zachowujących miarę µ, tzn.
µ(Tg−1 (A)) = µ(A) dla dowolnego A ∈ B,
G = Z – działania wyznaczone przez pojedynczy automorfizm.
G = R – potoki (nałożone pewne warunki mierzalności).
Naturalnym przykładem potoków są potoki pochodzące od
równań różniczkowych.
3 / 38
Rozpatrywana klasa potoków
M – zamknięta, orientowalna powierzchnia genusu g ­ 2 z
ustaloną formą powierzchni.
η – gładka, zamknięta 1-forma. Sytuacja lokalna: η = dH.
Potok lokalnie dany jest przez hamiltonowski układ równań
różniczkowych:
(
ẋ = ∂H
∂y
ẏ = − ∂H
∂x
Novikov ’82
Jeśli η jest formą Morse’a (skończona liczba
niezdegenerowanych punktów krytycznych) → rozkład na
składowe minimalne i okresowe (Mayer ’43, Levitt ’82,
Zorich ’94).
Jeśli nie ma połączeń siodłowych – tylko jedna składowa
(minimalna).
4 / 38
Rozpatrywana klasa potoków
M – zamknięta, orientowalna powierzchnia genusu g ­ 2 z
ustaloną formą powierzchni.
η – gładka, zamknięta 1-forma. Sytuacja lokalna: η = dH.
Potok lokalnie dany jest przez hamiltonowski układ równań
różniczkowych:
(
ẋ = ∂H
∂y
ẏ = − ∂H
∂x
Novikov ’82
Jeśli η jest formą Morse’a (skończona liczba
niezdegenerowanych punktów krytycznych) → rozkład na
składowe minimalne i okresowe (Mayer ’43, Levitt ’82,
Zorich ’94).
Jeśli nie ma połączeń siodłowych – tylko jedna składowa
(minimalna).
4 / 38
Potoki specjalne T f = (Ttf )t∈R
T : (X , B, µ) → (X , B, µ)
f : X → R, f ­ C > 0,
f ∈ L1 (X , B, µ)
X f = {(x, s) ∈ X ×R; 0 ¬ s < f (x)}
B f = B ⊗ B(R)|X f
µf = µ ⊗ λ|X f
von Neumann ’32
Ambrose ’41, Ambrose, Kakutani ’42
5 / 38
Przekładania odcinków i obroty
Przekładania odcinków (interval
exchange transformations, IET)
Dane definiujące T : [0, 1) → [0, 1)
T : [0, 1) → [0, 1)
Tx = x + α (mod 1),
α∈R\Q
wektor długości
λ = (λ1 , . . . , λr ),
permutacja zbioru
r -elementowego π.
A
B
C
Obroty
C
B
A
6 / 38
Przekładania odcinków i obroty
Przekładania odcinków (interval
exchange transformations, IET)
Dane definiujące T : [0, 1) → [0, 1)
T : [0, 1) → [0, 1)
Tx = x + α (mod 1),
α∈R\Q
wektor długości
λ = (λ1 , . . . , λr ),
permutacja zbioru
r -elementowego π.
A
B
C
Obroty
C
B
A
6 / 38
Reprezentacja specjalna rozpatrywanych potoków
Kochergin ’76, Arnold ’91, Zorich ’94
w bazie przekładanie odcinków,
funkcja dachowa postaci f + g jest gładka oprócz skończonej
liczby punktów, w których ma osobliwości typu
logarytmicznego:
f (x) =
X
−ci+ log{x − βi }
0¬i ¬r −1
+
X
−ci−+1 log{βi +1 − x} ,
0¬i ¬r −1
g – kawałkami absolutnie ciągła, taka, że f + g > 0.
7 / 38
Reprezentacja specjalna rozpatrywanych potoków
Kochergin ’76, Arnold ’91, Zorich ’94
w bazie przekładanie odcinków,
funkcja dachowa postaci f + g jest gładka oprócz skończonej
liczby punktów, w których ma osobliwości typu
logarytmicznego:
f (x) =
X
−ci+ log{x − βi }
0¬i ¬r −1
+
X
−ci−+1 log{βi +1 − x} ,
0¬i ¬r −1
g – kawałkami absolutnie ciągła, taka, że f + g > 0.
7 / 38
Reprezentacja specjalna pewnych potoków
Sytuacja modelowa
w bazie obrót o kąt niewymierny
T x = x + α,
funkcja dachowa: f + g , gdzie
f(x) = −ln(x) − ln(1 − x),
g – absolutnie ciągła.
Takie potoki również pochodzą od gładkich potoków na
powierzchniach (Blokhin ’72), jednak musimy dopuścić obecność
połączeń siodłowych.
Gdy genus g ­ 2 i nie ma połączeń siodłowych, to liczba
przekładanych odcinków wynosi 4g − 3.
8 / 38
Reprezentacja specjalna pewnych potoków
Sytuacja modelowa
w bazie obrót o kąt niewymierny
T x = x + α,
funkcja dachowa: f + g , gdzie
f(x) = −ln(x) − ln(1 − x),
g – absolutnie ciągła.
Takie potoki również pochodzą od gładkich potoków na
powierzchniach (Blokhin ’72), jednak musimy dopuścić obecność
połączeń siodłowych.
Gdy genus g ­ 2 i nie ma połączeń siodłowych, to liczba
przekładanych odcinków wynosi 4g − 3.
8 / 38
Własności ergodyczne
T : (X , B, µ) → (X , B, µ) - automorfizm standardowej,
borelowskiej przestrzeni probabilistycznej
Podstawowe własności ergodyczne
ergodyczność: dla A ∈ B
µ(A4T −1 A) = 0 ⇒ (µ(A) = 0 lub µ(A) = 1) ,
mieszanie: dla A, B ∈ B
lim µ(T n A ∩ B) = µ(A)µ(B),
n→∞
słabe mieszanie: dla A, B ∈ B
X
1 N−1
|µ(T n A ∩ B) − µ(A)µ(B)| = 0.
N→∞ N
n=0
lim
W podobny sposób definiujemy te pojęcia dla potoków oraz
działań innych grup.
9 / 38
Własności ergodyczne
T : (X , B, µ) → (X , B, µ) - automorfizm standardowej,
borelowskiej przestrzeni probabilistycznej
Podstawowe własności ergodyczne
ergodyczność: dla A ∈ B
µ(A4T −1 A) = 0 ⇒ (µ(A) = 0 lub µ(A) = 1) ,
mieszanie: dla A, B ∈ B
lim µ(T n A ∩ B) = µ(A)µ(B),
n→∞
słabe mieszanie: dla A, B ∈ B
X
1 N−1
|µ(T n A ∩ B) − µ(A)µ(B)| = 0.
N→∞ N
n=0
lim
W podobny sposób definiujemy te pojęcia dla potoków oraz
działań innych grup.
9 / 38
Własności ergodyczne
T : (X , B, µ) → (X , B, µ) - automorfizm standardowej,
borelowskiej przestrzeni probabilistycznej
Podstawowe własności ergodyczne
ergodyczność: dla A ∈ B
µ(A4T −1 A) = 0 ⇒ (µ(A) = 0 lub µ(A) = 1) ,
mieszanie: dla A, B ∈ B
lim µ(T n A ∩ B) = µ(A)µ(B),
n→∞
słabe mieszanie: dla A, B ∈ B
X
1 N−1
|µ(T n A ∩ B) − µ(A)µ(B)| = 0.
N→∞ N
n=0
lim
W podobny sposób definiujemy te pojęcia dla potoków oraz
działań innych grup.
9 / 38
Własności ergodyczne
T : (X , B, µ) → (X , B, µ) - automorfizm standardowej,
borelowskiej przestrzeni probabilistycznej
Podstawowe własności ergodyczne
ergodyczność: dla A ∈ B
µ(A4T −1 A) = 0 ⇒ (µ(A) = 0 lub µ(A) = 1) ,
mieszanie: dla A, B ∈ B
lim µ(T n A ∩ B) = µ(A)µ(B),
n→∞
słabe mieszanie: dla A, B ∈ B
X
1 N−1
|µ(T n A ∩ B) − µ(A)µ(B)| = 0.
N→∞ N
n=0
lim
W podobny sposób definiujemy te pojęcia dla potoków oraz
działań innych grup.
9 / 38
Własności ergodyczne
Osobliwości symetryczne i asymetryczne
f (x) =
X
−ci+ log{x − βi } +
0¬i¬r −1
+
0¬i¬r −1 ci
P
+
0¬i¬r −1 ci
P
X
−
−ci+1
log{βi+1 − x}
0¬i¬r −1
=
6=
−
0¬i¬r −1 ci+1
P
−
0¬i¬r −1 ci+1
P
→ osobliwości symetryczne,
→ osobliwości asymetryczne.
Tylko jedna składowa: minimalna ⇒ osobliwości są symetryczne.
Mieszanie ↔ asymetryczność (Sinai, Khanin ’92, Kochergin ’02,
Ulcigrai ’07).
Brak mieszania ↔ symetryczność (Kochergin ’76, ’07,
Lemańczyk ’00, Scheglov ’09, Ulcigrai ’11).
Słabe mieszanie – jest typowe (Frączek, Lemańczyk ’03,
Ulcigrai ’09).
10 / 38
Własności ergodyczne
Osobliwości symetryczne i asymetryczne
f (x) =
X
−ci+ log{x − βi } +
0¬i¬r −1
+
0¬i¬r −1 ci
P
+
0¬i¬r −1 ci
P
X
−
−ci+1
log{βi+1 − x}
0¬i¬r −1
=
6=
−
0¬i¬r −1 ci+1
P
−
0¬i¬r −1 ci+1
P
→ osobliwości symetryczne,
→ osobliwości asymetryczne.
Tylko jedna składowa: minimalna ⇒ osobliwości są symetryczne.
Mieszanie ↔ asymetryczność (Sinai, Khanin ’92, Kochergin ’02,
Ulcigrai ’07).
Brak mieszania ↔ symetryczność (Kochergin ’76, ’07,
Lemańczyk ’00, Scheglov ’09, Ulcigrai ’11).
Słabe mieszanie – jest typowe (Frączek, Lemańczyk ’03,
Ulcigrai ’09).
10 / 38
Własności spektralne
U : H → H – operator unitarny na ośrodkowej przestrzeni Hilberta
jest wyznaczony (z dokładnością do izomorfizmu) przez:
maksymalny typ spektralny σU ,
funkcję krotności spektralnej MU .
Gdy MU ≡ 1, mówimy, że U ma proste widmo. Każdy taki
operator jest izomorficzny z operatorem postaci
Vσ : L2 (T, σ) → L2 (T, σ), Vσ (f )(z) = z · f (z).
Zachodzi σVσ = σ, MVσ ≡ 1.
Z każdym automorfizmem (potokiem) T : (X , B, µ) → (X , B, µ)
można stowarzyszyć operator unitarny
UT : L2 (X , B, µ) → L2 (X , B, µ), UT (f ) = f ◦ T .
Jest to tzw. operator Koopmana. Analiza spektralna T ≡ analiza
spektralna operatora UT .
11 / 38
Własności spektralne
U : H → H – operator unitarny na ośrodkowej przestrzeni Hilberta
jest wyznaczony (z dokładnością do izomorfizmu) przez:
maksymalny typ spektralny σU ,
funkcję krotności spektralnej MU .
Gdy MU ≡ 1, mówimy, że U ma proste widmo. Każdy taki
operator jest izomorficzny z operatorem postaci
Vσ : L2 (T, σ) → L2 (T, σ), Vσ (f )(z) = z · f (z).
Zachodzi σVσ = σ, MVσ ≡ 1.
Z każdym automorfizmem (potokiem) T : (X , B, µ) → (X , B, µ)
można stowarzyszyć operator unitarny
UT : L2 (X , B, µ) → L2 (X , B, µ), UT (f ) = f ◦ T .
Jest to tzw. operator Koopmana. Analiza spektralna T ≡ analiza
spektralna operatora UT .
11 / 38
Własności spektralne
U : H → H – operator unitarny na ośrodkowej przestrzeni Hilberta
jest wyznaczony (z dokładnością do izomorfizmu) przez:
maksymalny typ spektralny σU ,
funkcję krotności spektralnej MU .
Gdy MU ≡ 1, mówimy, że U ma proste widmo. Każdy taki
operator jest izomorficzny z operatorem postaci
Vσ : L2 (T, σ) → L2 (T, σ), Vσ (f )(z) = z · f (z).
Zachodzi σVσ = σ, MVσ ≡ 1.
Z każdym automorfizmem (potokiem) T : (X , B, µ) → (X , B, µ)
można stowarzyszyć operator unitarny
UT : L2 (X , B, µ) → L2 (X , B, µ), UT (f ) = f ◦ T .
Jest to tzw. operator Koopmana. Analiza spektralna T ≡ analiza
spektralna operatora UT .
11 / 38
Teoria połączeń
T : (X , B, µ) → (X , B, µ)
S : (Y , C, ν) → (Y , C, ν)
Miary
Miarę λ na (X × Y , B ⊗ C)
nazywamy połączeniem T i S,
gdy
λ ◦ (T × S) = λ,
λ ma rzuty na współrzędne
odpowiednio µ i ν.
Operatory Markowa
Operator
Φ : L2 (X , B, µ) → L2 (Y , C, ν)
nazywamy połączeniem T i S,
jeśli
Φ jest operatorem Markowa,
tzn.
Piszemy λ ∈ J(T , S).
Φ1 = Φ∗ 1 = 1,
Φf ­ 0 dla f ­ 0,
Φ ◦ T = S ◦ Φ.
µ ⊗ ν ∈ J(T , S).
Połączenia ergodyczne: J e (T , S).
Działania innych grup.
12 / 38
Teoria połączeń
T : (X , B, µ) → (X , B, µ)
S : (Y , C, ν) → (Y , C, ν)
Miary
Miarę λ na (X × Y , B ⊗ C)
nazywamy połączeniem T i S,
gdy
λ ◦ (T × S) = λ,
λ ma rzuty na współrzędne
odpowiednio µ i ν.
Operatory Markowa
Operator
Φ : L2 (X , B, µ) → L2 (Y , C, ν)
nazywamy połączeniem T i S,
jeśli
Φ jest operatorem Markowa,
tzn.
Piszemy λ ∈ J(T , S).
Φ1 = Φ∗ 1 = 1,
Φf ­ 0 dla f ­ 0,
Φ ◦ T = S ◦ Φ.
µ ⊗ ν ∈ J(T , S).
Połączenia ergodyczne: J e (T , S).
Działania innych grup.
12 / 38
Teoria połączeń
T : (X , B, µ) → (X , B, µ)
S : (Y , C, ν) → (Y , C, ν)
Miary
Miarę λ na (X × Y , B ⊗ C)
nazywamy połączeniem T i S,
gdy
λ ◦ (T × S) = λ,
λ ma rzuty na współrzędne
odpowiednio µ i ν.
Operatory Markowa
Operator
Φ : L2 (X , B, µ) → L2 (Y , C, ν)
nazywamy połączeniem T i S,
jeśli
Φ jest operatorem Markowa,
tzn.
Piszemy λ ∈ J(T , S).
Φ1 = Φ∗ 1 = 1,
Φf ­ 0 dla f ­ 0,
Φ ◦ T = S ◦ Φ.
µ ⊗ ν ∈ J(T , S).
Połączenia ergodyczne: J e (T , S).
Działania innych grup.
12 / 38
Plan referatu
1
Wstęp
2
Problem samopodobieństw
Pojęcia, przykłady
Główny rezultat
3
Silna singularność spektralna
Pojęcia
Rezultaty
4
Własność połączeniowej pierwszości
5
Stabilność izomorfizmu produktów kartezjańskich potoków
13 / 38
Definicja
T = (Tt )t∈R : (X , B, µ) → (X , B, µ)
s ∈ R∗ , T ◦ s = (Tts )t∈R – potok z zamienionym czasem
Kiedy T ' T ◦ s?
I (T ) = {s ∈ R∗ : T ' T ◦ s} – zbiór skal samopodobieństwa
(jest to podgrupa multyplikatywna R∗ ).
I (T ) ⊂ {−1, 1} – brak samopodobieństw
sytuacja typowa: I (T ) = {1} (Danilenko, Ryzhikov ’11).
14 / 38
Przykłady
Przykłady:
„dużo” samopodobieństw:
potok Bernoullego z nieskończoną entropią (Ornstein ’74),
potoki horocykli (Marcus ’78),
brak samopodobieństw:
układy ze skończoną dodatnią entropią,
pewne (niemieszające) potoki translacyjne (Frączek,
Lemańczyk ’09),
pewne mieszające potoki rangi 1 (Ryzhikov ’97),
inne konstrukcje:
realizacja dowolnej przeliczalnej podgrupy multyplikatywnej R∗
(Frączek, Lemańczyk ’09, Danilenko, Ryzhikov ’10),
realizacja niektórych podgrup nieprzeliczalnych (Danilenko ’11).
Pytanie:1 Jak wygląda sytuacja w przypadku układów gładkich?
1
K. Frączek, M. Lemańczyk, On the self-similarity problem for ergodic flows, Proc. London Math. Soc. 99
(2009), 658-696.
15 / 38
Przykłady
Przykłady:
„dużo” samopodobieństw:
potok Bernoullego z nieskończoną entropią (Ornstein ’74),
potoki horocykli (Marcus ’78),
brak samopodobieństw:
układy ze skończoną dodatnią entropią,
pewne (niemieszające) potoki translacyjne (Frączek,
Lemańczyk ’09),
pewne mieszające potoki rangi 1 (Ryzhikov ’97),
inne konstrukcje:
realizacja dowolnej przeliczalnej podgrupy multyplikatywnej R∗
(Frączek, Lemańczyk ’09, Danilenko, Ryzhikov ’10),
realizacja niektórych podgrup nieprzeliczalnych (Danilenko ’11).
Pytanie:1 Jak wygląda sytuacja w przypadku układów gładkich?
1
K. Frączek, M. Lemańczyk, On the self-similarity problem for ergodic flows, Proc. London Math. Soc. 99
(2009), 658-696.
15 / 38
Przykłady
Przykłady:
„dużo” samopodobieństw:
potok Bernoullego z nieskończoną entropią (Ornstein ’74),
potoki horocykli (Marcus ’78),
brak samopodobieństw:
układy ze skończoną dodatnią entropią,
pewne (niemieszające) potoki translacyjne (Frączek,
Lemańczyk ’09),
pewne mieszające potoki rangi 1 (Ryzhikov ’97),
inne konstrukcje:
realizacja dowolnej przeliczalnej podgrupy multyplikatywnej R∗
(Frączek, Lemańczyk ’09, Danilenko, Ryzhikov ’10),
realizacja niektórych podgrup nieprzeliczalnych (Danilenko ’11).
Pytanie:1 Jak wygląda sytuacja w przypadku układów gładkich?
1
K. Frączek, M. Lemańczyk, On the self-similarity problem for ergodic flows, Proc. London Math. Soc. 99
(2009), 658-696.
15 / 38
Przykłady
Przykłady:
„dużo” samopodobieństw:
potok Bernoullego z nieskończoną entropią (Ornstein ’74),
potoki horocykli (Marcus ’78),
brak samopodobieństw:
układy ze skończoną dodatnią entropią,
pewne (niemieszające) potoki translacyjne (Frączek,
Lemańczyk ’09),
pewne mieszające potoki rangi 1 (Ryzhikov ’97),
inne konstrukcje:
realizacja dowolnej przeliczalnej podgrupy multyplikatywnej R∗
(Frączek, Lemańczyk ’09, Danilenko, Ryzhikov ’10),
realizacja niektórych podgrup nieprzeliczalnych (Danilenko ’11).
Pytanie:1 Jak wygląda sytuacja w przypadku układów gładkich?
1
K. Frączek, M. Lemańczyk, On the self-similarity problem for ergodic flows, Proc. London Math. Soc. 99
(2009), 658-696.
15 / 38
Plan referatu
1
Wstęp
2
Problem samopodobieństw
Pojęcia, przykłady
Główny rezultat
3
Silna singularność spektralna
Pojęcia
Rezultaty
4
Własność połączeniowej pierwszości
5
Stabilność izomorfizmu produktów kartezjańskich potoków
16 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Pytanie: Samopodobieństwa – jak wygląda sytuacja w przypadku
układów gładkich?
Interesują nas układy gładkie na powierzchniach.
Pytanie jest związane z ogólnym zagadnieniem, jakiego
rodzaju dynamikę można „zobaczyć” w układach gładkich na
powierzchniach, czy są jakieś ograniczenia.
Twierdzenia
Blokhin ’72: konstrukcja potoku ergodycznego na dowolnej
powierzchni oprócz sfery, płaszczyzny rzutowej i butelki
Kleina,
brak potoków ergodycznych na sferze i płaszczyźnie
rzutowej (wynika z twierdzenia Poincarégo-Bendixsona) oraz
butelce Kleina (Markley ’69, Aranson ’75),
Kochergin ’75: konstrukcja potoku mieszającego na
dowolnej powierzchni oprócz sfery, płaszczyzny rzutowej i
butelki Kleina.
17 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Pytanie: Samopodobieństwa – jak wygląda sytuacja w przypadku
układów gładkich?
Interesują nas układy gładkie na powierzchniach.
Pytanie jest związane z ogólnym zagadnieniem, jakiego
rodzaju dynamikę można „zobaczyć” w układach gładkich na
powierzchniach, czy są jakieś ograniczenia.
Twierdzenia
Blokhin ’72: konstrukcja potoku ergodycznego na dowolnej
powierzchni oprócz sfery, płaszczyzny rzutowej i butelki
Kleina,
brak potoków ergodycznych na sferze i płaszczyźnie
rzutowej (wynika z twierdzenia Poincarégo-Bendixsona) oraz
butelce Kleina (Markley ’69, Aranson ’75),
Kochergin ’75: konstrukcja potoku mieszającego na
dowolnej powierzchni oprócz sfery, płaszczyzny rzutowej i
butelki Kleina.
17 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Pytanie: Samopodobieństwa – jak wygląda sytuacja w przypadku
układów gładkich?
Można by pytać bardziej szczegółowo:
czy każda podgrupa R∗ może być zrealizowana jako I (T )
potoku gładkiego na powierzchni?
jeśli nie, to jakie są ograniczenia?
czy można przeprowadzić te konstrukcje na dowolnej
powierzchni?
czy istnieją gładkie potoki na powierzchniach bez
samopodobieństw?
Twierdzenie (K.)
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu co
najmniej 2 istnieje gładki potok bez samopodobieństw.
18 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Pytanie: Samopodobieństwa – jak wygląda sytuacja w przypadku
układów gładkich?
Można by pytać bardziej szczegółowo:
czy każda podgrupa R∗ może być zrealizowana jako I (T )
potoku gładkiego na powierzchni?
jeśli nie, to jakie są ograniczenia?
czy można przeprowadzić te konstrukcje na dowolnej
powierzchni?
czy istnieją gładkie potoki na powierzchniach bez
samopodobieństw?
Twierdzenie (K.)
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu co
najmniej 2 istnieje gładki potok bez samopodobieństw.
18 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Pytanie: Samopodobieństwa – jak wygląda sytuacja w przypadku
układów gładkich?
Można by pytać bardziej szczegółowo:
czy każda podgrupa R∗ może być zrealizowana jako I (T )
potoku gładkiego na powierzchni?
jeśli nie, to jakie są ograniczenia?
czy można przeprowadzić te konstrukcje na dowolnej
powierzchni?
czy istnieją gładkie potoki na powierzchniach bez
samopodobieństw?
Twierdzenie (K.)
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu co
najmniej 2 istnieje gładki potok bez samopodobieństw.
18 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Pytanie: Samopodobieństwa – jak wygląda sytuacja w przypadku
układów gładkich?
Można by pytać bardziej szczegółowo:
czy każda podgrupa R∗ może być zrealizowana jako I (T )
potoku gładkiego na powierzchni?
jeśli nie, to jakie są ograniczenia?
czy można przeprowadzić te konstrukcje na dowolnej
powierzchni?
czy istnieją gładkie potoki na powierzchniach bez
samopodobieństw?
Twierdzenie (K.)
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu co
najmniej 2 istnieje gładki potok bez samopodobieństw.
18 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Pytanie: Samopodobieństwa – jak wygląda sytuacja w przypadku
układów gładkich?
Można by pytać bardziej szczegółowo:
czy każda podgrupa R∗ może być zrealizowana jako I (T )
potoku gładkiego na powierzchni?
jeśli nie, to jakie są ograniczenia?
czy można przeprowadzić te konstrukcje na dowolnej
powierzchni?
czy istnieją gładkie potoki na powierzchniach bez
samopodobieństw?
Twierdzenie (K.)
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu co
najmniej 2 istnieje gładki potok bez samopodobieństw.
18 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Narzędzia:
wykorzystanie podanej wcześniej reprezentacji specjalnej,
na bazowe IET nakładam warunek będący uogólnieniem
warunku ograniczonych częściowych ilorazów dla obrotu
niewymiernego,
wykazuję brak częściowej sztywności dla potoków
specjalnych, w których automorfizm bazowy jest IET z
nałożonym ograniczeniem,
wykorzystuję rezultat Ulcigrai ’11 dotyczący braku
mieszania dla szerszej klasy potoków,
brak częściowej sztywności + warunek implikujący brak
mieszania ⇒ brak samopodobieństw (Frączek,
Lemańczyk ’08).
19 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Narzędzia:
wykorzystanie podanej wcześniej reprezentacji specjalnej,
na bazowe IET nakładam warunek będący uogólnieniem
warunku ograniczonych częściowych ilorazów dla obrotu
niewymiernego,
wykazuję brak częściowej sztywności dla potoków
specjalnych, w których automorfizm bazowy jest IET z
nałożonym ograniczeniem,
wykorzystuję rezultat Ulcigrai ’11 dotyczący braku
mieszania dla szerszej klasy potoków,
brak częściowej sztywności + warunek implikujący brak
mieszania ⇒ brak samopodobieństw (Frączek,
Lemańczyk ’08).
19 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Narzędzia:
wykorzystanie podanej wcześniej reprezentacji specjalnej,
na bazowe IET nakładam warunek będący uogólnieniem
warunku ograniczonych częściowych ilorazów dla obrotu
niewymiernego,
wykazuję brak częściowej sztywności dla potoków
specjalnych, w których automorfizm bazowy jest IET z
nałożonym ograniczeniem,
wykorzystuję rezultat Ulcigrai ’11 dotyczący braku
mieszania dla szerszej klasy potoków,
brak częściowej sztywności + warunek implikujący brak
mieszania ⇒ brak samopodobieństw (Frączek,
Lemańczyk ’08).
19 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw
Narzędzia:
wykorzystanie podanej wcześniej reprezentacji specjalnej,
na bazowe IET nakładam warunek będący uogólnieniem
warunku ograniczonych częściowych ilorazów dla obrotu
niewymiernego,
wykazuję brak częściowej sztywności dla potoków
specjalnych, w których automorfizm bazowy jest IET z
nałożonym ograniczeniem,
wykorzystuję rezultat Ulcigrai ’11 dotyczący braku
mieszania dla szerszej klasy potoków,
brak częściowej sztywności + warunek implikujący brak
mieszania ⇒ brak samopodobieństw (Frączek,
Lemańczyk ’08).
19 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw – zbalansowane
długości podziałów
T : [0, 1) → [0, 1) przekładanie odcinków z punktami nieciągłości
0 = β0 < β1 < · · · < βr −1 < βr = 1 ma zbalansowane długości
podziałów c > 0, jeśli:
(i)
c
1
¬ min Pj ¬ max Pj ¬ ,
cj
j
gdzie Pj = P({T −k βi : 1 ¬ i ¬ r − 1, 0 ¬ k ¬ j − 1});
(ii) dla 0 ¬ i ¬ r − 1 oraz 0 ¬ k ¬ j − 1
1
¬ min P({T −k+l βi : 0 ¬ l ¬ j − 1})
cj
¬ max P({T −k+l βi : 0 ¬ l ¬ j − 1}) ¬
c
.
j
20 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw – zbalansowane
długości podziałów
T : [0, 1) → [0, 1) przekładanie odcinków z punktami nieciągłości
0 = β0 < β1 < · · · < βr −1 < βr = 1 ma zbalansowane długości
podziałów c > 0, jeśli:
(i)
1
c
¬ min Pj ¬ max Pj ¬ ,
cj
j
gdzie Pj = P({T −k βi : 1 ¬ i ¬ r − 1, 0 ¬ k ¬ j − 1});
(ii) dla 0 ¬ i ¬ r − 1 oraz 0 ¬ k ¬ j − 1
1
¬ min P({T −k+l βi : 0 ¬ l ¬ j − 1})
cj
¬ max P({T −k+l βi : 0 ¬ l ¬ j − 1}) ¬
c
.
j
20 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw – ograniczone
częściowe ilorazy
Tx = x + α mod 1, α ∈ R \ Q
Rozwinięcie liczby α w ułamek łańcuchowy
1
α=
1
a1 +
a2 +
1
a3 +
1
...
Liczba α ma ograniczone częściowe ilorazy, jeśli istnieje M > 0
takie, że an < M dla dowolnego n ∈ N.
Jest to warunek równoważny warunkowi zbalansowanych długości
podziałów.
21 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw – zbalansowane
długości podziałów – przykłady
Definicje
1 Indukcja Rauzy’ego – pewne uogólnienie przekształcenia
Gaussa dającego rozwinięcie w ułamek łańcuchowy.
2
Przekładanie odcinków jest typu okresowego, gdy po pewnej
liczbie kroków w indukcji Rauzy’ego otrzymamy przeskalowaną
kopię wyjściowego przekładania odcinków.
Stwierdzenie (K.)
Przekładania odcinków typu okresowego mają zbalansowane
długości podziałów.
Istnieje algorytm szukania przekładań typu okresowego (Sinai,
Ulcigrai ’05).
22 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw – zbalansowane
długości podziałów – przykłady
Definicje
1 Indukcja Rauzy’ego – pewne uogólnienie przekształcenia
Gaussa dającego rozwinięcie w ułamek łańcuchowy.
2
Przekładanie odcinków jest typu okresowego, gdy po pewnej
liczbie kroków w indukcji Rauzy’ego otrzymamy przeskalowaną
kopię wyjściowego przekładania odcinków.
Stwierdzenie (K.)
Przekładania odcinków typu okresowego mają zbalansowane
długości podziałów.
Istnieje algorytm szukania przekładań typu okresowego (Sinai,
Ulcigrai ’05).
22 / 38
Gładkie potoki bez samopodobieństw – zbalansowane
długości podziałów – przykłady
Definicje
1 Indukcja Rauzy’ego – pewne uogólnienie przekształcenia
Gaussa dającego rozwinięcie w ułamek łańcuchowy.
2
Przekładanie odcinków jest typu okresowego, gdy po pewnej
liczbie kroków w indukcji Rauzy’ego otrzymamy przeskalowaną
kopię wyjściowego przekładania odcinków.
Stwierdzenie (K.)
Przekładania odcinków typu okresowego mają zbalansowane
długości podziałów.
Istnieje algorytm szukania przekładań typu okresowego (Sinai,
Ulcigrai ’05).
22 / 38
Plan referatu
1
Wstęp
2
Problem samopodobieństw
Pojęcia, przykłady
Główny rezultat
3
Silna singularność spektralna
Pojęcia
Rezultaty
4
Własność połączeniowej pierwszości
5
Stabilność izomorfizmu produktów kartezjańskich potoków
23 / 38
Pojęcia związane z silną singularnością spektralną
Definicje
Miara borelowska σ na T (R) ma własność
CS (convolution singularity, własność singularności splotów),
jeśli σ ⊥ ν1 ∗ ν2 dla dowolnych miar ciągłych ν1 , ν2 ;
CS(n) (własność singularności splotów rzędu n), jeśli
σ ⊥ ν1 ∗ · · · ∗ νn dla dowolnych miar ciągłych ν1 , . . . , νn ;
SCS (strong convolution singularity, silna singularność
spektralna), jeśli operatory Vσk mają proste widmo dla k ­ 1.
Automorfizm (potok) T ma własność CS, CS(n), SCS, jeśli jego
maksymalny typ spektralny ma tę własność.
24 / 38
Pojęcia związane z silną singularnością spektralną
Definicje
Miara borelowska σ na T (R) ma własność
CS (convolution singularity, własność singularności splotów),
jeśli σ ⊥ ν1 ∗ ν2 dla dowolnych miar ciągłych ν1 , ν2 ;
CS(n) (własność singularności splotów rzędu n), jeśli
σ ⊥ ν1 ∗ · · · ∗ νn dla dowolnych miar ciągłych ν1 , . . . , νn ;
SCS (strong convolution singularity, silna singularność
spektralna), jeśli operatory Vσk mają proste widmo dla k ­ 1.
Automorfizm (potok) T ma własność CS, CS(n), SCS, jeśli jego
maksymalny typ spektralny ma tę własność.
24 / 38
Pojęcia związane z silną singularnością spektralną
Definicje
Miara borelowska σ na T (R) ma własność
CS (convolution singularity, własność singularności splotów),
jeśli σ ⊥ ν1 ∗ ν2 dla dowolnych miar ciągłych ν1 , ν2 ;
CS(n) (własność singularności splotów rzędu n), jeśli
σ ⊥ ν1 ∗ · · · ∗ νn dla dowolnych miar ciągłych ν1 , . . . , νn ;
SCS (strong convolution singularity, silna singularność
spektralna), jeśli operatory Vσk mają proste widmo dla k ­ 1.
Automorfizm (potok) T ma własność CS, CS(n), SCS, jeśli jego
maksymalny typ spektralny ma tę własność.
24 / 38
Pojęcia związane z silną singularnością spektralną
Definicje
Miara borelowska σ na T (R) ma własność
CS (convolution singularity, własność singularności splotów),
jeśli σ ⊥ ν1 ∗ ν2 dla dowolnych miar ciągłych ν1 , ν2 ;
CS(n) (własność singularności splotów rzędu n), jeśli
σ ⊥ ν1 ∗ · · · ∗ νn dla dowolnych miar ciągłych ν1 , . . . , νn ;
SCS (strong convolution singularity, silna singularność
spektralna), jeśli operatory Vσk mają proste widmo dla k ­ 1.
Automorfizm (potok) T ma własność CS, CS(n), SCS, jeśli jego
maksymalny typ spektralny ma tę własność.
24 / 38
Układy pochodzenia probabilistycznego
T : (X , B, µ) → (X , B, µ) nazywamy automorfizmem gaussowskim,
jeśli istnieje podprzestrzeń H ⊂ L20 (X , B, µ) taka, że każda
niezerowa zmienna losowa f ∈ H ma rozkład Gaussa oraz
B(H) = B.
W szczególności: układy stowarzyszone ze stacjonarnymi
procesami gaussowskimi.
Przestrzeń L20 (X ) można utożsamiać z sumą prostą ⊕n­1 H n .
Analiza spektralna układów Gaussa sprowadza się więc do analizy
operatorów unitarnych postaci ⊕n­1 U n . Są to tzw. operatory
Focka.
25 / 38
Układy pochodzenia probabilistycznego
T : (X , B, µ) → (X , B, µ) nazywamy automorfizmem gaussowskim,
jeśli istnieje podprzestrzeń H ⊂ L20 (X , B, µ) taka, że każda
niezerowa zmienna losowa f ∈ H ma rozkład Gaussa oraz
B(H) = B.
W szczególności: układy stowarzyszone ze stacjonarnymi
procesami gaussowskimi.
Przestrzeń L20 (X ) można utożsamiać z sumą prostą ⊕n­1 H n .
Analiza spektralna układów Gaussa sprowadza się więc do analizy
operatorów unitarnych postaci ⊕n­1 U n . Są to tzw. operatory
Focka.
25 / 38
Układy pochodzenia probabilistycznego
T : (X , B, µ) → (X , B, µ) nazywamy automorfizmem gaussowskim,
jeśli istnieje podprzestrzeń H ⊂ L20 (X , B, µ) taka, że każda
niezerowa zmienna losowa f ∈ H ma rozkład Gaussa oraz
B(H) = B.
W szczególności: układy stowarzyszone ze stacjonarnymi
procesami gaussowskimi.
Przestrzeń L20 (X ) można utożsamiać z sumą prostą ⊕n­1 H n .
Analiza spektralna układów Gaussa sprowadza się więc do analizy
operatorów unitarnych postaci ⊕n­1 U n . Są to tzw. operatory
Focka.
25 / 38
Układy pochodzenia probabilistycznego
T : (X , B, µ) → (X , B, µ) nazywamy automorfizmem gaussowskim,
jeśli istnieje podprzestrzeń H ⊂ L20 (X , B, µ) taka, że każda
niezerowa zmienna losowa f ∈ H ma rozkład Gaussa oraz
B(H) = B.
W szczególności: układy stowarzyszone ze stacjonarnymi
procesami gaussowskimi.
Przestrzeń L20 (X ) można utożsamiać z sumą prostą ⊕n­1 H n .
Analiza spektralna układów Gaussa sprowadza się więc do analizy
operatorów unitarnych postaci ⊕n­1 U n . Są to tzw. operatory
Focka.
25 / 38
Silna singularność spektralna
Katok, Stepin ’67: nie jest prawdą, że maksymalny typ
spektralny σ dowolnego automorfizmu ma własność grupową
Kołmogorowa, tzn. σ σ ∗ σ.
Stepin ’86: σ ∗n ⊥ σ ∗m dla m 6= n jest typowa.
Ageev ’99: silniejsza własność SCS jest typowa.
SCS: automorfizm Chacona (Ageev ’00), pewne automorfizmy
mieszające (Ryzhikov ’07, Ageev ’08), niektóre gładkie potoki
na torusie (Lemańczyk, Parreau ’11).
Motywacja
Ageev ’08: zagadnienia dotyczące krotności widma operatorów
zadanych przez potęgi tensorowe na pewnych naturalnych
podprzestrzeniach.
Parreau, Roy (wynik nieopublikowany): dla miary ciągłej σ
prostota widma operatora Vσ Vσ implikuje własność CS
miary σ.
26 / 38
Silna singularność spektralna
Katok, Stepin ’67: nie jest prawdą, że maksymalny typ
spektralny σ dowolnego automorfizmu ma własność grupową
Kołmogorowa, tzn. σ σ ∗ σ.
Stepin ’86: σ ∗n ⊥ σ ∗m dla m 6= n jest typowa.
Ageev ’99: silniejsza własność SCS jest typowa.
SCS: automorfizm Chacona (Ageev ’00), pewne automorfizmy
mieszające (Ryzhikov ’07, Ageev ’08), niektóre gładkie potoki
na torusie (Lemańczyk, Parreau ’11).
Motywacja
Ageev ’08: zagadnienia dotyczące krotności widma operatorów
zadanych przez potęgi tensorowe na pewnych naturalnych
podprzestrzeniach.
Parreau, Roy (wynik nieopublikowany): dla miary ciągłej σ
prostota widma operatora Vσ Vσ implikuje własność CS
miary σ.
26 / 38
Silna singularność spektralna
Katok, Stepin ’67: nie jest prawdą, że maksymalny typ
spektralny σ dowolnego automorfizmu ma własność grupową
Kołmogorowa, tzn. σ σ ∗ σ.
Stepin ’86: σ ∗n ⊥ σ ∗m dla m 6= n jest typowa.
Ageev ’99: silniejsza własność SCS jest typowa.
SCS: automorfizm Chacona (Ageev ’00), pewne automorfizmy
mieszające (Ryzhikov ’07, Ageev ’08), niektóre gładkie potoki
na torusie (Lemańczyk, Parreau ’11).
Motywacja
Ageev ’08: zagadnienia dotyczące krotności widma operatorów
zadanych przez potęgi tensorowe na pewnych naturalnych
podprzestrzeniach.
Parreau, Roy (wynik nieopublikowany): dla miary ciągłej σ
prostota widma operatora Vσ Vσ implikuje własność CS
miary σ.
26 / 38
Silna singularność spektralna
Katok, Stepin ’67: nie jest prawdą, że maksymalny typ
spektralny σ dowolnego automorfizmu ma własność grupową
Kołmogorowa, tzn. σ σ ∗ σ.
Stepin ’86: σ ∗n ⊥ σ ∗m dla m 6= n jest typowa.
Ageev ’99: silniejsza własność SCS jest typowa.
SCS: automorfizm Chacona (Ageev ’00), pewne automorfizmy
mieszające (Ryzhikov ’07, Ageev ’08), niektóre gładkie potoki
na torusie (Lemańczyk, Parreau ’11).
Motywacja
Ageev ’08: zagadnienia dotyczące krotności widma operatorów
zadanych przez potęgi tensorowe na pewnych naturalnych
podprzestrzeniach.
Parreau, Roy (wynik nieopublikowany): dla miary ciągłej σ
prostota widma operatora Vσ Vσ implikuje własność CS
miary σ.
26 / 38
Silna singularność spektralna
Katok, Stepin ’67: nie jest prawdą, że maksymalny typ
spektralny σ dowolnego automorfizmu ma własność grupową
Kołmogorowa, tzn. σ σ ∗ σ.
Stepin ’86: σ ∗n ⊥ σ ∗m dla m 6= n jest typowa.
Ageev ’99: silniejsza własność SCS jest typowa.
SCS: automorfizm Chacona (Ageev ’00), pewne automorfizmy
mieszające (Ryzhikov ’07, Ageev ’08), niektóre gładkie potoki
na torusie (Lemańczyk, Parreau ’11).
Motywacja
Ageev ’08: zagadnienia dotyczące krotności widma operatorów
zadanych przez potęgi tensorowe na pewnych naturalnych
podprzestrzeniach.
Parreau, Roy (wynik nieopublikowany): dla miary ciągłej σ
prostota widma operatora Vσ Vσ implikuje własność CS
miary σ.
26 / 38
Plan referatu
1
Wstęp
2
Problem samopodobieństw
Pojęcia, przykłady
Główny rezultat
3
Silna singularność spektralna
Pojęcia
Rezultaty
4
Własność połączeniowej pierwszości
5
Stabilność izomorfizmu produktów kartezjańskich potoków
27 / 38
Rezultat abstrakcyjny i jego konsekwencje
Twierdzenie (K.)
Dla miary ciągłej σ na T oraz m, k ∈ N,
jeśli Vσmk ma proste widmo, to σ ∗k ma własność CS(n)
dla wszystkich n spełniających nierówność (m!)n > (mk)!
(k!)m .
Konsekwencje
Nowe, prostsze dowody klasycznych twierdzeń:
1
(tw. dotyczące prostoty widma operatora Focka) Prostota
widma Vσk dla k ­ 1 pociąga za sobą σ ∗n ⊥ σ ∗m dla n 6= m,
a więc prostotę widma ⊕k­1 Vσk .
2
(tw. Girsanova) Funkcja krotności spektralnej układu
gaussowskiego jest albo tożsamościowo równa 1, albo jest
nieograniczona.
28 / 38
Rezultat abstrakcyjny i jego konsekwencje
Twierdzenie (K.)
Dla miary ciągłej σ na T oraz m, k ∈ N,
jeśli Vσmk ma proste widmo, to σ ∗k ma własność CS(n)
dla wszystkich n spełniających nierówność (m!)n > (mk)!
(k!)m .
Konsekwencje
Nowe, prostsze dowody klasycznych twierdzeń:
1
(tw. dotyczące prostoty widma operatora Focka) Prostota
widma Vσk dla k ­ 1 pociąga za sobą σ ∗n ⊥ σ ∗m dla n 6= m,
a więc prostotę widma ⊕k­1 Vσk .
2
(tw. Girsanova) Funkcja krotności spektralnej układu
gaussowskiego jest albo tożsamościowo równa 1, albo jest
nieograniczona.
28 / 38
Rezultat abstrakcyjny i jego konsekwencje
Twierdzenie (K.)
Dla miary ciągłej σ na T oraz m, k ∈ N,
jeśli Vσmk ma proste widmo, to σ ∗k ma własność CS(n)
dla wszystkich n spełniających nierówność (m!)n > (mk)!
(k!)m .
Konsekwencje
Nowe, prostsze dowody klasycznych twierdzeń:
1
(tw. dotyczące prostoty widma operatora Focka) Prostota
widma Vσk dla k ­ 1 pociąga za sobą σ ∗n ⊥ σ ∗m dla n 6= m,
a więc prostotę widma ⊕k­1 Vσk .
2
(tw. Girsanova) Funkcja krotności spektralnej układu
gaussowskiego jest albo tożsamościowo równa 1, albo jest
nieograniczona.
28 / 38
Nowa metoda wykazywania silnej singularności spektralnej
Pytanie: Czy na dowolnej powierzchni genusu co najmniej 2
istnieje gładki potok z własnością SCS?
Twierdzenie (K.)
Niech
f (x) = − ln x − ln(1 − x) − 2, f1 - AC,
α ∈ R \ Q takie, że
lim inf n→∞ qn3 kqn αk
R
f1 dλ = 0,
= 0,
σ – m.t.s. potoku specjalnego nad Tx = x + α pod f + f1 + c.
Wówczas potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
Wniosek
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu g ­ 2
istnieje gładki potok, którego maksymalny typ spektralny σ jest
taki, że potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
29 / 38
Nowa metoda wykazywania silnej singularności spektralnej
Pytanie: Czy na dowolnej powierzchni genusu co najmniej 2
istnieje gładki potok z własnością SCS?
Twierdzenie (K.)
Niech
f (x) = − ln x − ln(1 − x) − 2, f1 - AC,
α ∈ R \ Q takie, że
lim inf n→∞ qn3 kqn αk
R
f1 dλ = 0,
= 0,
σ – m.t.s. potoku specjalnego nad Tx = x + α pod f + f1 + c.
Wówczas potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
Wniosek
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu g ­ 2
istnieje gładki potok, którego maksymalny typ spektralny σ jest
taki, że potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
29 / 38
Nowa metoda wykazywania silnej singularności spektralnej
Pytanie: Czy na dowolnej powierzchni genusu co najmniej 2
istnieje gładki potok z własnością SCS?
Twierdzenie (K.)
Niech
f (x) = − ln x − ln(1 − x) − 2, f1 - AC,
α ∈ R \ Q takie, że
lim inf n→∞ qn3 kqn αk
R
f1 dλ = 0,
= 0,
σ – m.t.s. potoku specjalnego nad Tx = x + α pod f + f1 + c.
Wówczas potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
Wniosek
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu g ­ 2
istnieje gładki potok, którego maksymalny typ spektralny σ jest
taki, że potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
29 / 38
Nowa metoda wykazywania silnej singularności spektralnej
Pytanie: Czy na dowolnej powierzchni genusu co najmniej 2
istnieje gładki potok z własnością SCS?
Twierdzenie (K.)
Niech
f (x) = − ln x − ln(1 − x) − 2, f1 - AC,
α ∈ R \ Q takie, że
lim inf n→∞ qn3 kqn αk
R
f1 dλ = 0,
= 0,
σ – m.t.s. potoku specjalnego nad Tx = x + α pod f + f1 + c.
Wówczas potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
Wniosek
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu g ­ 2
istnieje gładki potok, którego maksymalny typ spektralny σ jest
taki, że potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
29 / 38
Nowa metoda wykazywania silnej singularności spektralnej
Pytanie: Czy na dowolnej powierzchni genusu co najmniej 2
istnieje gładki potok z własnością SCS?
Twierdzenie (K.)
Niech
f (x) = − ln x − ln(1 − x) − 2, f1 - AC,
α ∈ R \ Q takie, że
lim inf n→∞ qn3 kqn αk
R
f1 dλ = 0,
= 0,
σ – m.t.s. potoku specjalnego nad Tx = x + α pod f + f1 + c.
Wówczas potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
Wniosek
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu g ­ 2
istnieje gładki potok, którego maksymalny typ spektralny σ jest
taki, że potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
29 / 38
Nowa metoda wykazywania silnej singularności spektralnej
Pytanie: Czy na dowolnej powierzchni genusu co najmniej 2
istnieje gładki potok z własnością SCS?
Twierdzenie (K.)
Niech
f (x) = − ln x − ln(1 − x) − 2, f1 - AC,
α ∈ R \ Q takie, że
lim inf n→∞ qn3 kqn αk
R
f1 dλ = 0,
= 0,
σ – m.t.s. potoku specjalnego nad Tx = x + α pod f + f1 + c.
Wówczas potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
Wniosek
Na dowolnej domkniętej, orientowalnej powierzchni genusu g ­ 2
istnieje gładki potok, którego maksymalny typ spektralny σ jest
taki, że potok unitarny Vσ3 ma proste widmo.
29 / 38
Nowa metoda wykazywania silnej singularności spektralnej
Twierdzenie (K.)
Niech n ∈ N. Jeśli T tn →
R
R Tt
d P(t), d P = hd x oraz
funkcja h jest gładka poza pewnym punktem x0 , w którym
limx→x + h(x) = ∞, h(x) = 0 dla x < x0 ,
0
h oraz jej pochodne spełniają pewien warunek dotyczący
szybkiego malenia w nieskończoności,
√
funkcję (x0 , ∞) 3 x 7→ x · h(x) ∈ R można przedłużyć w
sposób analityczny,
współczynniki w rozwinięciu tej funkcji w szereg Taylora
spełniają pewne warunki arytmetyczne (tu zależność od n),
to V n
σ , gdzie σ – m.t.s. dla T ma proste widmo.
W sytuacji rozpatrywanych potoków na powierzchniach:
1
P = ln
2 sin π·
(
(λ), h(x) =
∗
2
2x
π (4e
1
− 1)− 2
0
dla x > − ln 2
dla x ¬ − ln 2
Metoda działa dla n ¬ 3.
30 / 38
Nowa metoda wykazywania silnej singularności spektralnej
Twierdzenie (K.)
Niech n ∈ N. Jeśli T tn →
R
R Tt
d P(t), d P = hd x oraz
funkcja h jest gładka poza pewnym punktem x0 , w którym
limx→x + h(x) = ∞, h(x) = 0 dla x < x0 ,
0
h oraz jej pochodne spełniają pewien warunek dotyczący
szybkiego malenia w nieskończoności,
√
funkcję (x0 , ∞) 3 x 7→ x · h(x) ∈ R można przedłużyć w
sposób analityczny,
współczynniki w rozwinięciu tej funkcji w szereg Taylora
spełniają pewne warunki arytmetyczne (tu zależność od n),
to V n
σ , gdzie σ – m.t.s. dla T ma proste widmo.
W sytuacji rozpatrywanych potoków na powierzchniach:
1
P = ln
2 sin π·
(
(λ), h(x) =
∗
2
2x
π (4e
1
− 1)− 2
0
dla x > − ln 2
dla x ¬ − ln 2
Metoda działa dla n ¬ 3.
30 / 38
Nowa metoda wykazywania silnej singularności spektralnej
Twierdzenie (K.)
Niech n ∈ N. Jeśli T tn →
R
R Tt
d P(t), d P = hd x oraz
funkcja h jest gładka poza pewnym punktem x0 , w którym
limx→x + h(x) = ∞, h(x) = 0 dla x < x0 ,
0
h oraz jej pochodne spełniają pewien warunek dotyczący
szybkiego malenia w nieskończoności,
√
funkcję (x0 , ∞) 3 x 7→ x · h(x) ∈ R można przedłużyć w
sposób analityczny,
współczynniki w rozwinięciu tej funkcji w szereg Taylora
spełniają pewne warunki arytmetyczne (tu zależność od n),
to V n
σ , gdzie σ – m.t.s. dla T ma proste widmo.
W sytuacji rozpatrywanych potoków na powierzchniach:
1
P = ln
2 sin π·
(
(λ), h(x) =
∗
2
2x
π (4e
1
− 1)− 2
0
dla x > − ln 2
dla x ¬ − ln 2
Metoda działa dla n ¬ 3.
30 / 38
Plan referatu
1
Wstęp
2
Problem samopodobieństw
Pojęcia, przykłady
Główny rezultat
3
Silna singularność spektralna
Pojęcia
Rezultaty
4
Własność połączeniowej pierwszości
5
Stabilność izomorfizmu produktów kartezjańskich potoków
31 / 38
Definicje
Automorfizm ergodyczny R ma własność JP (joining primeness,
połączeniowa pierwszość), jeśli dla dowolnych
S1 , S2 – słabo mieszających,
λ ∈ J e (R, S1 × S2 ) mamy
λ = λZ ,Y1 ⊗ ν2 lub λ = λZ ,Y2 ⊗ ν1 .
Automorfizm ergodyczny R ma własność JP(n) (połączeniowa
pierwszość rzędu n), jeśli dla dowolnych
S1 , . . . , Sn+1 – słabo mieszających,
λ ∈ J e (R, S1 × · · · × Sn+1 ) mamy
λ = λZ ,Y1 ,...,Ŷi ,...,Yn+1 ⊗ νi dla pewnego 1 ¬ i ¬ n + 1.
32 / 38
Definicje
Automorfizm ergodyczny R ma własność JP (joining primeness,
połączeniowa pierwszość), jeśli dla dowolnych
S1 , S2 – słabo mieszających,
λ ∈ J e (R, S1 × S2 ) mamy
λ = λZ ,Y1 ⊗ ν2 lub λ = λZ ,Y2 ⊗ ν1 .
Automorfizm ergodyczny R ma własność JP(n) (połączeniowa
pierwszość rzędu n), jeśli dla dowolnych
S1 , . . . , Sn+1 – słabo mieszających,
λ ∈ J e (R, S1 × · · · × Sn+1 ) mamy
λ = λZ ,Y1 ,...,Ŷi ,...,Yn+1 ⊗ νi dla pewnego 1 ¬ i ¬ n + 1.
32 / 38
JP(n) na mapie układów dynamicznych
Rudolph ’79
)
MSJ
Veech ’82
)
PROSTE („1:1”)
)
„n:1”
Thouvenot, Ryzhikov ’06
)
QUASI-PROSTE
del Junco, Lemańczyk ’05
)
DS
Lemańczyk, Parreau, Roy ’11
)
JP
)
...
Lemańczyk, Parreau, Roy ’11
)
JP(n)
JP(n + 1)
)
(
...
)
własność Ratner
0
83
zerowa entropia
33 / 38
JP(n) na mapie układów dynamicznych
Twierdzenie (K., Parreau)2
CS(n + 1) + WM =⇒ JP(n).
Wniosek
Dla typowego automorfizmu T produkt kartezjański T ×n ma
własność JP(n).
Ponieważ produkt kartezjański T ×n nie może mieć własności
JP(n − 1), więc
JP(n − 1) ( JP(n).
2
Przypadek n = 2: Lemańczyk, Parreau, Roy ’11.
34 / 38
JP(n) na mapie układów dynamicznych
Twierdzenie (K., Parreau)2
CS(n + 1) + WM =⇒ JP(n).
Wniosek
Dla typowego automorfizmu T produkt kartezjański T ×n ma
własność JP(n).
Ponieważ produkt kartezjański T ×n nie może mieć własności
JP(n − 1), więc
JP(n − 1) ( JP(n).
2
Przypadek n = 2: Lemańczyk, Parreau, Roy ’11.
34 / 38
Plan referatu
1
Wstęp
2
Problem samopodobieństw
Pojęcia, przykłady
Główny rezultat
3
Silna singularność spektralna
Pojęcia
Rezultaty
4
Własność połączeniowej pierwszości
5
Stabilność izomorfizmu produktów kartezjańskich potoków
35 / 38
Motywacja
Pytanie Thouvenota: T × T ' S × S ⇒ T ' S?
Ryzhikov ’96: TAK, gdy T jest α-słabo mieszający, tzn.
T tn → α · Π + (1 − α) · Id
(jest to własność typowa dla automorfizmów – Stepin ’86).
Ryzhikov, Troitskaya ’06: TAK, gdy
Ttn → aΠ +
X
a i Ti ,
i∈Z
gdzie a, ai ∈ [0, 1), a +
składniki niezerowe.
P
i
ai = 1 oraz co najmniej dwa
Pytanie Ryzhikova: Czy istnieje odpowiednik tych twierdzeń dla
potoków?
36 / 38
Motywacja
Pytanie Thouvenota: T × T ' S × S ⇒ T ' S?
Ryzhikov ’96: TAK, gdy T jest α-słabo mieszający, tzn.
T tn → α · Π + (1 − α) · Id
(jest to własność typowa dla automorfizmów – Stepin ’86).
Ryzhikov, Troitskaya ’06: TAK, gdy
Ttn → aΠ +
X
a i Ti ,
i∈Z
gdzie a, ai ∈ [0, 1), a +
składniki niezerowe.
P
i
ai = 1 oraz co najmniej dwa
Pytanie Ryzhikova: Czy istnieje odpowiednik tych twierdzeń dla
potoków?
36 / 38
Motywacja
Pytanie Thouvenota: T × T ' S × S ⇒ T ' S?
Ryzhikov ’96: TAK, gdy T jest α-słabo mieszający, tzn.
T tn → α · Π + (1 − α) · Id
(jest to własność typowa dla automorfizmów – Stepin ’86).
Ryzhikov, Troitskaya ’06: TAK, gdy
Ttn → aΠ +
X
a i Ti ,
i∈Z
gdzie a, ai ∈ [0, 1), a +
składniki niezerowe.
P
i
ai = 1 oraz co najmniej dwa
Pytanie Ryzhikova: Czy istnieje odpowiednik tych twierdzeń dla
potoków?
36 / 38
Motywacja
Pytanie Thouvenota: T × T ' S × S ⇒ T ' S?
Ryzhikov ’96: TAK, gdy T jest α-słabo mieszający, tzn.
T tn → α · Π + (1 − α) · Id
(jest to własność typowa dla automorfizmów – Stepin ’86).
Ryzhikov, Troitskaya ’06: TAK, gdy
Ttn → aΠ +
X
a i Ti ,
i∈Z
gdzie a, ai ∈ [0, 1), a +
składniki niezerowe.
P
i
ai = 1 oraz co najmniej dwa
Pytanie Ryzhikova: Czy istnieje odpowiednik tych twierdzeń dla
potoków?
36 / 38
Rezultaty
Pytanie ogólniejsze
Czy T1 × . . . × Td ' S1 × . . . × Sd implikuje istnienie permutacji π
zbioru {1, . . . , d} takiej, że Ti ' Sπ(i) dla 1 ¬ i ¬ d?
Twierdzenie (K.)
Ogólnie: NIE.
TAK w sytuacji, gdy:
1
2
potoki Ti są słabo mieszające i mają własność JP lub
potoki Ti są αi -słabo mieszające.
Wniosek
W obu powyższych sytuacjach centralizator potoku T1 × · · · × Td
e gdzie
składa się z automorfizmów postaci π ◦ S,
e
S ∈ C (T1 ) × · · · × C (Td ), permutacja π działa przez zamianę
współrzędnych i jest taka, że jeśli π(i) = j, to Ti = Tj .
37 / 38
Rezultaty
Pytanie ogólniejsze
Czy T1 × . . . × Td ' S1 × . . . × Sd implikuje istnienie permutacji π
zbioru {1, . . . , d} takiej, że Ti ' Sπ(i) dla 1 ¬ i ¬ d?
Twierdzenie (K.)
Ogólnie: NIE.
TAK w sytuacji, gdy:
1
2
potoki Ti są słabo mieszające i mają własność JP lub
potoki Ti są αi -słabo mieszające.
Wniosek
W obu powyższych sytuacjach centralizator potoku T1 × · · · × Td
e gdzie
składa się z automorfizmów postaci π ◦ S,
e
S ∈ C (T1 ) × · · · × C (Td ), permutacja π działa przez zamianę
współrzędnych i jest taka, że jeśli π(i) = j, to Ti = Tj .
37 / 38
Rezultaty
Pytanie ogólniejsze
Czy T1 × . . . × Td ' S1 × . . . × Sd implikuje istnienie permutacji π
zbioru {1, . . . , d} takiej, że Ti ' Sπ(i) dla 1 ¬ i ¬ d?
Twierdzenie (K.)
Ogólnie: NIE.
TAK w sytuacji, gdy:
1
2
potoki Ti są słabo mieszające i mają własność JP lub
potoki Ti są αi -słabo mieszające.
Wniosek
W obu powyższych sytuacjach centralizator potoku T1 × · · · × Td
e gdzie
składa się z automorfizmów postaci π ◦ S,
e
S ∈ C (T1 ) × · · · × C (Td ), permutacja π działa przez zamianę
współrzędnych i jest taka, że jeśli π(i) = j, to Ti = Tj .
37 / 38
Rezultaty
Pytanie ogólniejsze
Czy T1 × . . . × Td ' S1 × . . . × Sd implikuje istnienie permutacji π
zbioru {1, . . . , d} takiej, że Ti ' Sπ(i) dla 1 ¬ i ¬ d?
Twierdzenie (K.)
Ogólnie: NIE.
TAK w sytuacji, gdy:
1
2
potoki Ti są słabo mieszające i mają własność JP lub
potoki Ti są αi -słabo mieszające.
Wniosek
W obu powyższych sytuacjach centralizator potoku T1 × · · · × Td
e gdzie
składa się z automorfizmów postaci π ◦ S,
e
S ∈ C (T1 ) × · · · × C (Td ), permutacja π działa przez zamianę
współrzędnych i jest taka, że jeśli π(i) = j, to Ti = Tj .
37 / 38
Rezultaty
Pytanie ogólniejsze
Czy T1 × . . . × Td ' S1 × . . . × Sd implikuje istnienie permutacji π
zbioru {1, . . . , d} takiej, że Ti ' Sπ(i) dla 1 ¬ i ¬ d?
Twierdzenie (K.)
Ogólnie: NIE.
TAK w sytuacji, gdy:
1
2
potoki Ti są słabo mieszające i mają własność JP lub
potoki Ti są αi -słabo mieszające.
Wniosek
W obu powyższych sytuacjach centralizator potoku T1 × · · · × Td
e gdzie
składa się z automorfizmów postaci π ◦ S,
e
S ∈ C (T1 ) × · · · × C (Td ), permutacja π działa przez zamianę
współrzędnych i jest taka, że jeśli π(i) = j, to Ti = Tj .
37 / 38
Literatura
J. Kułaga, On the self-similarity problem for smooth flows on
orientable surfaces, praca przyjęta w Ergodic Theory and
Dynamical Systems,
J. Kułaga, A note on the isomorphism of Cartesian products
of ergodic flows, praca przyjęta w Journal of Dynamical and
Control Systems,
J. Kułaga, F. Parreau, Disjointness properties for Cartesian
products of weakly mixing systems, w przygotowaniu,
J. Kułaga, Simple spectrum for the symmetric tensor product
of an R-action defined by a class of special flows over an
irrational rotation., w przygotowaniu.
Dziękuję za uwagę!
38 / 38