Zadanie (miejsca zerowe i kwadratury) Przez malownicze

Zadanie (miejsca zerowe i kwadratury)
Przez malownicze, aczkolwiek nieduŜe miasteczko TrwoŜniki Wielkie płynie tylko
jedna rzeka, Opijna. Dzięki tej rzece TrwoŜniki są lokalnym centrum turystyki oraz Ŝeglugi
wycieczkowej. Burmistrz oraz mieszkańcy TrwoŜników są dumni ze swojej rzeki i wiedzą o
niej bardzo duŜo. Znają na przykład bardzo dokładnie kształt koryta swojej rzeki i wiedzą, Ŝe
jego przekrój w miejscu w którym rzeka przecina miasteczko moŜe być z duŜą dokładnością
przybliŜony przez funkcję:
f ( x) = −e 0,1x sin 0,1x + 1 , jeśli ograniczyć się do przedziału ok. [5, 32] (wszystkie miary
podane są w metrach), natomiast lustro wody znajduje się na poziomie y = 0.
Burmistrz zna dokładnie szerokość rzeki, oraz potrafi powiedzieć jak duŜo wody przez
nią przepływa (gdyŜ zna prędkość rzeki oraz pole przekroju koryta rzeki ograniczone od góry
lustrem wody)
JednakŜe ostatnie susze przysporzyły burmistrzowi i mieszkańcom sporo problemów.
Okazało się poziom rzeki Opijnej opadł o 2 metry. Burmistrz miasteczka znalazł się w trudnej
sytuacji ze względu na rozpoczęte inwestycje budowy 2 mostów przez Opijną, które nie
mogły być kontynuowane bez znajomości szerokości rzeki (a fundusze UE juŜ zostały
pobrane...). Dodatkowym zmartwieniem dla Burmistrza była konieczność wstrzymania
Ŝeglugi aŜ do momentu ustalenia, czy w rzece znajduje się ilość wody umoŜliwiająca
bezpieczne wykorzystywanie dotychczasowych tras.
Burmistrz TrwoŜników, jako osoba czynu, postanowił nie marnować czasu i
wykorzystując swoje kontakty w stolicy, zamówił wizytę geodety, najlepszego absolwenta z
ostatniego rocznika wydziału Geodezji i Kartografii Politechniki Warszawskiej. Pojawienie
się wyczekiwanego przybysza zaskoczyło burmistrza w dwójnasób. Pierwszym zaskoczeniem
(niewątpliwie miłym) był fakt, Ŝe przybyły geodeta faktycznie okazał się być niezwykle
sympatyczną geodetką. Drugim natomiast był niemal całkowity brak sprzętu geodezyjnego
(moŜe za wyjątkiem niewielkiego pojemniczka ze środkiem rozgrzewającym podczas
trudnych prac w terenie), na ujrzenie którego Burmistrz bardzo liczył. Pani ElŜbieta (tak
nazywała się geodetka) przyjechała uzbrojona wyłącznie w laptopa oraz wiedzę z zakresu
metod numerycznych nabytą podczas ostatnich lat studiów.
Burmistrz pokrótce przedstawił sytuację i określił swoje potrzeby. Przede wszystkim
poprosił Panią ElŜbietę o ustalenie nowej szerokości rzeki oraz pola przekroju koryta rzeki
pod lustrem wody. Nowo przybyła dynamicznie wzięła się do pracy. Korzystając z metod
poszukiwania zer funkcji błyskawicznie wyznaczyła punkty, w których woda styka się z
brzegiem rzeki. Okazało się, Ŝe wystarczy dobre przyjęcie punktów startowych (x = 14 i x =
31) i metoda stycznych (Newtona) daje dobre wyniki juŜ w 5 przybliŜeniu.
Teraz obliczenie poszukiwanego pola powierzchni było juŜ dziecinnie proste. W tym
celu Pani ElŜbieta uŜyła złoŜonej kwadratury prostokątów z wyborem punktu w środku
przedziału. JuŜ po wykonaniu obliczeń Pani ElŜbieta zorientowała się, Ŝe potrafi w prosty
sposób policzyć odpowiednią całkę równieŜ w sposób analityczny. Porównała wynik obydwu
metod i okazało się Ŝe w miarę dokładny wynik (dla którego względny błąd całkowania
|R(f)/I(f)| ≤ 0,0001) udało się osiągnąć juŜ po stosunkowo nieduŜej liczbie iteracji.
Po tak szybkim i niezawodnym wykonaniu obliczeń radości w miasteczku nie było
końca. Pojawiły się nawet propozycje przyznania honorowego obywatelstwa TrwoŜników
Wlk. Pani ElŜbiecie, ale ta, będąc osobą skromną, nie chciała nawet słyszeć o podobnych
wyróŜnieniach. Natomiast burmistrz, bardzo zadowolony z wykonanego zadania postanowił,
Ŝe w przyszłości do kaŜdej większej pracy mierniczej będzie zapraszał tylko i wyłącznie Elę
(tak, ostatniego dnia pobytu udało im się przejść na „ty”)
A czy TY potrafisz wskazać obliczoną przez Panią ElŜbietę szerokość rzeki? .......
i czy potrafisz określić ilu podprzedziałów wymagała kwadratura w celu osiągnięcia Ŝądanej
dokładności pomiaru?........
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
koryto rzeki
5
10
15
20
25
30
35
nowy poziom
wody
poprzedni
poziom wody