Podsumowanie wiadomo±ci z kursu Matematyka cz. 1

Podsumowanie wiadomo±ci z kursu Matematyka cz. 1
1
Przestrzenie Hilberta i ukªady ortonormalne
Niech
E
b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡.
Denicja 1.
Iloczyn skalarny (·, ·) : E × E → C lub R
1. (x, y) = (y, x)
2. (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z)
3. (x, x) ­ 0 oraz (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0
(E, (·, ·)) jest przestrzeni¡ prehilberta.
(Przypomnienie:
PrzykªadyP2.
xy =
u · v = |u||v|cos(θ), u · u = |u|2 , |u| =
√
u · u)
1. Rn , Cn
x i yi
2. `2 : x = (x1 , x2 . . . ),
P
xi yi
P
|xi |2 < ∞
3. sko«czona liczba niezerowych elementów (x1 x2 . . . )
4. C([a, b]) R
(f, g) = ab f (x)g(x)dx
2 ([a, b])
5. L
Rb 2
a |f | < ∞
Denicja 3.
Norma ||x|| =
Denicja 4.
Nierówno±¢ Schwarza:
p
(x, x)
|(x, y)| ¬ ||x|| · ||y||
dodatkowo mamy |(x, y)| = ||x|| · ||y|| ⇐⇒ x = y .
Denicja 5.
Nierówno±¢ trójk¡ta:
||x + y|| ¬ ||x|| + ||y||
||x + y||2 =
=
Dowód.
=
¬
(x + y, x + y) = (x, x + y) + (y, x + y)
(x + y, x) + (x + y, y) = (x, x) + (y, x) + (x, y) + (y, y)
(x, x) + 2Re(x, y) + (y, y) ¬ (x, x) + 2|(x, y)| + (y, y)
||x||2 + 2||x||||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2
Które przestrzenie unormowane s¡ Hilberta?
Prawo 6.
Prawo równolegªoboku||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ) x ⊥ y je±li (x, y) = 0
x ⊥ y ⇒ ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2
Denicja 7.
Przykªad 8.
Przestrze« Hilberta: p. prehilberta + zupeªna
• przykªad przestrzeni, która nie jest zupeªna:
1 1
1
xn = (1, , , . . . , , 0, . . . )
2 3
n
ci¡g xn jest Cauchy'ego, ale nie w E .
• (([a, b))) bez zupeªno±ci: fn =



1
1 − 2n(x − 12 )


0
||fn − fm || ¬ ( n1 +
1 12
m)
L2 , R`2 s¡ Hilberta:
f←
⇒ abR|f (x)|2 δ(x)dx < ∞,
< f, g >= f gδ
δ(x) ­ 0 (prawie wsz¦dzie).
L2,δ
(xn ) → x
1
2n
→ 0, n, m → ∞
Fakt 9.
Denicja 10.
x < 21
1
1
2 ¬x¬ 2 +
1
x > 21 + 2n
Silna zbie»no±¢:
||xn − x|| → 0
Denicja 11.
Sªaba zbie»no±¢:
(xn , y) → (x, y)
∀y ∈ E
Twierdzenie 12.
2
Sªabo zbie»ne ci¡gi s¡ ograniczone ⇐⇒ ∃M taki, »e ||xn || ¬ M
∀n
Ukªady ortogonalne i ortonormalne
Baza B ⊂ E (liniowa niezale»no±¢).
P
Przypomnijmy przypadek sko«czony: x = m
n=1 xn xm
Denicja 13.
S ⊂ E jest ortogonalny, je±li x ⊥ y,
Denicja 14.
S ⊂ E jest ortonormalny, je±li ||x|| = 1
∀x ∈ S
x
,
||x||
x∈S
S1 =
Twierdzenie 15.
x, y ∈ S
Ukªady ortogonalne s¡ liniowo niezale»ne
Przykªad 16.
em = (0, . . . , 1, 0, . . . ) jest ukªadem ortonormalnym w `2
Przykªad 17.
φn (x) =
einx
√
,
2π
R
π
1
i(m−n)x dx
(Φn , Φm ) = 2π
−π e
R
π
1
(Φn , Φn ) = 2π
−π dx = 1
n ∈ Z. Ukªad ortonormalny w L2 ([−π, π]) to
=
eπi(m−n) −e−πi(m−n)
,
2πi(m−n)
Przykªad 18.
Wielomiany Legendre'a
P0 (x) = 1
dn
2
n
Pn (x) = 2n1n! dx
n (x − 1)
wielomiany
q
n + 12 Pn (x) tworz¡ ukªad ortonormalny. Jest to ukªad ortogonalny w L2 ([−1, 1]).
Przykªad 19.
Wielomiany Hermite'a
2 dn
−x2
(−1)n ex dx
ne
Hn (x) =
Jest to ukªad ortogonalny w L2 (R).
2.1
Wªasno±ci ukªadu ortonormalnego
Pitagoras: Niech x1 , . . . , xn b¦dzie ukªadem ortogonalnym. Wtedy
||
X
xk ||2 =
X
||xk ||2
Nierówno±¢ Bessela: x1 , . . . , xn ukªad ortonormalny ∀x ∈ E mamy
||x −
X
(x, xk )xk ||2 = ||x||2 −
k
X
|(x, xk )|2
St¡d mamy |(x, xk )|2 ¬ ||x||2 ⇒ {(x, xk )} ∈ `2 . Ukªad ortonormalny indukuje transformacj¦ E → `2 .
P
x∼ ∞
n=1 (x, xn )xn jest uogólnionym ci¡giem Fouriera.
P
{xn } ∈ H jest zupeªny, je±li ∀x ∈ H
x= ∞
n=1 (x, xn )xn
P
powy»sza równo±¢ oznacza, »e lim||x − || = 0
Nale»y doda¢, »e nie wynika st¡d zbie»no±¢ punktowa.
P
Fakt 20. Charakter ukªadów ortonormalnych
Ukªad ortonormalny nazywamy zupeªnym, je±li (x, xn ) = 0
∀n ⇒ x = 0
Fakt 21.
Wzór Parsevala
P
{xn } jest zupeªny w H , je±li ||x||2 = |(x, xm )|
2.2
Przykªady zupeªnych ukªadów ortonormalnych
• (Φn (x)) =
einx
√
,
2π
L2 (−π, π)
√
√
, sin(lx)
}l,k ,
• { √12π , cos(kx)
n
n
• { √1π ,
q
2
π cos(kx)}k
L2 (−π, π)
oraz { √1π ,
Przykªad 22.
q
2
π sin(kx)}k
w L2 ([0, π])
H = L2 ([−π, π]) Ukªad ortonormalny: {xn (t)} = √1n sin(nt)
x(t) = cos(t) R
P∞
π
(x, xn ) = √12π −π
costsint
| {z } u = 0 ⇒ n=1 (x, xn )xn = 0 6= cos(t), zatem {xn (t)} nie jest zupeªny.
=0