zaokrąglić w górę

STATYSTYKA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
MIARY POŁOŻENIA
Średnia (arytmetyczna)
k
n
∑f
∑ xi
x=
i =1
x=
n
j
xj
k
∑f
j =1
j
j =1
Wartość środkowa (mediana)
xn + xn
~
x=
lub
2
2
+1
2
Szeregi rozdzielcze (zmienna losowa skokowa)
Mediana
n
− fk
~
x = xm + 2
d
fm
2
Modalna (dominanta)
o
f m − f m −1
x = xm +
d
( f m − f m −1 ) + ( f m − f m +1 )
xm - dolna granica przedziału mediany (modalnej)
fm - liczebność przedziału mediany (modalnej)
fk - liczebność sumaryczna klas poprzedzających przedział mediany
d - szerokość przedziałów klas
MIARY ASYMETRII
~
W szeregach symetrycznych
x − x
Współczynnik skośności
−
o
x−x
As =
S
S – wariancja próby
o
x = x = x
o
Wskaźnik skośności:
wj =
k
∑f
j =1
k - liczba klas
fi - liczebność klasy
wi – waga klasy
~
x = x n +1
fj
k
x = ∑ wj xj ;
j =1
j
Współczynnik asymetrii
m
S
A =
3
3
n
1
n
=
_
∑
( x
− x )
i
3
i=1
S
3
_
Uwaga.: w przypadku szeregów rozdzielczych sumujemy iloczyny fi (xi – x )3
MIARY KONCENTRACJI
Współczynnik skupienia (wokół średniej) – kurtoza
m
S
=
K
4
4
1 n
∑ ( x
n i=1
S
=
_
− x )
i
4
4
Dla rozkładu normalnego K=3, w rozkładach spłaszczonych K<3, a w smukłych K>3.
Uwaga: czasami kurtozę określa się jako K’ = K– 3. Patrz też uwaga przy obl. wsp. A
ANALIZA WARIANCJI (miary rozproszenia)
Wariancja próby - zmienna losowa ciągła
 n 
n∑ x −  ∑ xi 
 i =1 
= i =1
n(n − 1)
n
n
∑ (x
2
S =
i
− x)
2
2
i
2
i =1
n −1
n - liczebność próby
Wariancja dla zmiennej skokowej
k
k
∑f
S
2
=
j
(x j − x)
j =1
n∑
2
=
j =1
n −1
 k

f j x −  ∑ f j x j 
 j =1

n(n − 1)
2
j
k - liczba klas
fj - liczebność klasy j
Odchylenie standardowe próby
n
∑ (x
S = S2 =
i
− x)2
i −1
n −1
Odchylenie standardowe średniej
n
Sx =
∑ (x
S
=
i
− x)2
i −1
n(n − 1)
n
Rozstęp
R = xmax - xmin
Współczynnik zmienności
v =
S
_
x
100 %
2
PROPAGACJA BŁĘDU (przenoszenie błędu)
Dla funkcji u = u(x1,x2,...xn) w której zmienne x1... xn znane są z błędami ∆x1,
∆x2,... ∆xn błąd maksymalny funkcji u wynosi:
n
∆ u = ∑
i=1
∂u
∆ x
∂xi
i
Błąd maksymalny względny (procentowy)
δu
=
n
∆u
∂u
100 % = ∑
∆ x i ⋅ 100 %
u
i=1 u ∂ x i
Lepsze oszacowanie błędu funkcji u
∆ u =
n
∑
i=1
 ∂u

 ∂xi



2
(∆ x i )
2
Pochodne cząstkowe du/dxi oblicza się dla wszystkich zmiennych obarczonych
błędem (∆xi), natomiast pomija się pochodne stałych oraz zmiennych znanych
dokładnie (bezbłędnie).
REGUŁY ZAOKRĄGLANIA WYNIKÓW
Większość rezultatów obliczeń należy zaokrąglić, stosownie do wynikającej z
analizy problemu liczby cyfr znaczących. Liczba cyfr znaczących w zaokrąglonym
wyniku, uzależniona jest od wartości błędu pomiarowego wielkości mierzonych i w
efekcie od błędu wielkości obliczanej.
Procedurę zaczyna się od wartości błędu, który powinien być wyrażony za
pomocą dwu cyfr znaczących i zaokrąglony zawsze w górę. Wielkość, której błąd
dotyczy powinna mieć tan sam format liczbowy (tyle samo cyfr po przecinku, co
zaokrąglony błąd). Po zidentyfikowaniu w wyniku cyfry podlegającej zaokrągleniu
(miejsce drugiej cyfry zaokrąglonego błędu) dalej postępuje się następująco:
ijeśli następna na prawo cyfra (ulegająca zaokrągleniu) wynosi 0, 1, 2, 3 lub 4,
wówczas cała reszta liczby ulega obcięciu.
ii jeśli następna na prawo cyfra wynosi 6, 7, 8 lub 9, wówczas wynik (cyfrę znacząca)
zaokrągla się w górę, czyli dodaje się do wyniku niezbędny ułamek.
iii jeśli część zaokrąglona liczby wynosi dokładnie 5, wtedy poprzednia cyfra musi być
zaokrąglona do parzystej, a więc czasami w górę, a niekiedy w dół.
iiii wartość liczby obciętą (przy zaokrągleniu w dół) lub dodaną (przy zaokrąglaniu w
górę) należy dodać do błędu, a wynik tego dodawania zaokrąglić - oczywiście w
górę.
PRZYKŁAD I
Przyjmijmy, iż z rachunków wynika, że obliczana wielkość z wynosi 458,27331 , a
analiza błędu pokazuje, iż wynosi on 4,212. Oznacza to, że błąd będzie wyrażony za
pomocą dwu cyfr , czyli jednego miejsca po przecinku. Tak też musi być
przedstawiona, po zaokrągleniu, wartość z. Wynosi ona więc 458,3 – ma miejsce
zaokrąglenie w górę , co algebraicznie oznacza, iż do wyniku 458,27331 dodaliśmy
0,02669. Ten dodatek powiększa błąd do wartości 4,212 + 0.02669 = 4,23869 , a po
zaokrągleniu (zawsze w górę) otrzymujemy błąd maksymalny 4,3. Finalnie wielkość z
wraz z błędem zapisujemy następująco:
z = 458,3 = ±4,3
PRZYKŁAD II
Wielkość wyznaczona wynosi v = 0,009281321 , a błąd tej wielkości 0,0004401 ;
oznacza to, że wielkość v będzie zaokrąglana na piątym miejscu po przecinku (dwie
cyfry znaczące w wartości błędu). Wielkość v ulega tym razem obcięciu i równa się
0.00928, a część obcięta (0,000001321) zostaje dodana do błędu, który wzrasta do
wartości 0,0004401+0,000001321= 0,000441421 , a po zaokrągleniu ma wartość
0,00045. W końcu wielkość v wraz z błędem wynosi:
v = 0,00928±0,00045
PRZYKŁAD III (zagadka)
Zaokrąglić poprawnie wielkość: w = 8162219 ± 9133