Matematyka dyskretna Zestaw 1 – 25/26.02.2016

Matematyka dyskretna
Zestaw 1 – 25/26.02.2016
1. Proszę udowodnić metodą indukcji matematycznej, że dla dowolnego n ∈ N liczba 11n − 3n jest
podzielna przez 8.
2. Za pomocą diagramów Venna proszę udowodnić:
(a) A ∩ (B ⊕ C) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C),
(b) A ⊕ B ⊂ (A ⊕ C) ∪ (B ⊕ C),
(c) (A\B)\C ⊂ A\(B\C),
(d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = A ∪ (B ∩ C) ,
(e) A\(A\B) = A ∩ B .
3. Proszę udowodnić formalnie:
(a) (A ⊂ B i A ⊂ C) ⇒ A ⊂ B ∩ C ,
(b) (A ∩ B ∩ C)0 = A0 ∪ B 0 ∪ C 0 .
(c) A ⊂ B ⇔ (A ∪ B = B) ⇔ (A ∩ B = A) ⇔ (A\B = ∅) .
4. Proszę sprawdzić czy prawdziwe są zdania:
(a) (A ∩ B = A ∩ C ⇒ B = C) ,
(b) (A ∪ B = A ∪ C ⇒ B = C) ,
(c) (A ⊕ B = A ⊕ C ⇒ B = C) ,
(d) (A ∪ B ⊂ A ∩ B ⇒ A = B) ,
(e) (A ∩ B = A0 ∪ B 0 ) .
5. Czy to prawda, że dla dowolnego X zbiór P (X) ma co najmniej 2 elementy?
Czy to prawda, że [0; 1]\(0; 1) = {0; 1}?
Wyznacz zbiór [0; 3]\[2; 6] oraz zbiór [0; 3]0
6. Proszę wypisać elementy
(a) P(P(A)), gdzie A = {a, b},
(b) P(A × B), gdzie A = {a, b}, B = {0, 1}.
Na tym przykładzie proszę wprowadzić wzór na liczbę elementów zbioru potęgowego |P(S)|.
Michał Piróg
e-mail: [email protected]
telefon: +48 12 664 4805
pokój: D-2-19
konsultacje: środa, 08:00 - 09:30