Wykład 3

Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Jezyk
˛
rachunku predykatów
1
Zmienne x, y , z . . .
2
Predykaty n-argumentowe P(x, y , . . . ), Q(x, y . . . ), . . .
3
Funktory zdaniowe ∼, ∧, ∨, →, ≡
4
Kwantyfikatory: istnieje ∃, dla każdego ∀
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Ustalenie dziedziny (uniwersum) U dla zmiennych x, y , z . . .
oraz określenie predykatów P, Q, R, . . . w U nazywamy interpretacja.
˛
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Przykłady
1
U = {0, 1, 2, . . . } jest zbiorem liczb naturalnych.
P(x) - x jest liczba˛ parzysta.
˛
Q(x, y ) - x jest wieksze
˛
od y .
R(x, y , z) - z jest suma˛ x i y .
2
U - zbiór wszystkich ludzi.
P(x) - x jest kobieta.
˛
Q(x, y ) - x jest rodzicem y .
R(x, y , z) - x, y , z sa˛ rodzeństwem.
3
U - zbiór wszystkich trójkatów.
˛
P(x) - x jest prostokatny.
˛
Q(x, y ) - x jest podobny do y .
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Jeżeli w predykacie P(x, y , . . . ) przypiszemy zmiennym x, y , . . .
określone wartości z uniwersum U to otrzymamy zdanie logiczne.
Przykład: U = {0, 1, 2, . . . }, P(x, y ) - x jest wieksze
˛
od y .
P(3, 4) jest zdaniem fałszywym
P(5, 2) jest zdaniem prawdziwym.
Predykaty 0-argumentowe P, Q, . . . możemy traktować jako
zwykłe zdania logiczne. Jezyk
˛
rachunku predykatów obejmuje
wiec
˛ jezyk
˛
klasycznego rachunku zdań.
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Formuły rachunku predykatów
Predykat jest formuła˛ rachunku predykatów.
Jeżeli φ i ψ sa˛ formułami rachunku predykatów, to ∼ (φ),
(φ) ∨ (ψ), (φ) ∧ (ψ), (φ) → (ψ), (φ) ≡ (ψ) sa˛ formułami
rachunku predykatów.
Jeżeli φ jest formuła˛ rachunku predykatów a v jest zmienna˛
w φ, to ∃v (φ) i ∀v (φ) sa˛ formułami rachunku predykatów.
Przykłady:
P, P(x), Q(x), P(x, y ), Q(x, y , z), . . .
P ∨ Q(x), P(x) ∧ Q(x), Q(x) → P(x, y ), ∼ P(x) ∧ Q(x), . . .
∃x (P(x)), ∀y (P(x, y )), ∃x (P(x) → Q(x)), . . .
∀y (∃x (P(x) → Q(y )))
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Zasieg
˛ kwantyfikatora
Zasiegiem
˛
kwantyfikatora nazywamy wyrażenie zawarte w nawiasie otwartym bezpośrednio po tym kwantyfikatorze.
Przykład:
∃x (P(x, y ) ∧ Q(x)) → R(x)
Zmienna jest zwiazana
˛
jeżeli jest w zasiegu
˛
pewnego kwantyfikatora, w którym wystepuje
˛
ta zmienna.
Przykład:
∃x (P(x, y ) ∧ Q(x)) → R(x)
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Opuszczanie nawiasów
Nawiasy można opuścić po kwantyfikatorze jeżeli nie prowadzi
to do niejednoznaczności w określeniu jego zasiegu.
˛
Poprawne:
∃x (P(x)) ≡ ∃x P(x)
∃x (∀y (P(x, y ) → Q(x))) ≡ ∃x ∀y (P(x, y ) → Q(x))
Niepoprawne(!):
∃x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∃x P(x) ∧ Q(x)
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Formuły zamkniete
˛
Formuła jest zamknieta
˛ jeżeli wszystkie zmienne sa˛ w niej
zwiazane.
˛
Przykłady formuł zamknietych:
˛
∀x P(x)
∃y ∀x P(x, y )
(∃x P(x)) → (∀x Q(x))
∃x (Q(x) → ∀y P(x, y ))
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Formuły zamkniete
˛
Formuła zamknieta
˛ dla określonej interpretacji staje sie˛ zdaniem
logicznym. Zatem posiada określona˛ wartość logiczna prawda
lub fałsz. Za pomoca˛ formuł zamknietych
˛
można wyrażać złożone własności badanego uniwersum.
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Formuły zamkniete
˛
Ustalamy uniwersum U = {0, 1, 2, . . . } i predykaty:
P(x) - liczba x jest parzysta.
Q(x) - liczba x jest pierwsza.
R(x, y ) ≡ (x ≤ y ) liczba x jest nie wieksza
˛
od liczby y .
Zdania w tym uniwersum:
Istnieje liczba parzysta: ∃x P(x)
Istnieje najmniejsza liczba naturalna: ∃x ∀y (x ≤ y )
Żadna liczba parzysta wieksza
˛
od 2 nie jest pierwsza:
∼ (∃x (Q(x) ∧ (3 ≤ x) ∧ P(x))
lub równoważnie:
∀x ((P(x) ∧ (3 ≤ x)) →∼ Q(x))
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Formuły zamkniete
˛
Ustalamy uniwersum U - wszyscy filozofowie.
P(x) - filozof x jest madry.
˛
Q(x, y ) - filozof x jest uczniem filozofa y .
Zdania w tym uniwersum:
Filozof jest madry
˛
jeżeli jest uczniem madrego
˛
filozofa.
∀x (∃y (Q(x, y ) ∧ P(y )) → P(x))
Jeżeli filozof jest madry,
˛
to każdy jego uczeń jest madry.
˛
∀y (P(y ) → ∀x (Q(x, y ) → P(x)))
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Formuły spełnialne i prawdziwe
Formuła jest spełnialna jeżeli jest zdaniem prawdziwym w pewnej interpretacji. Formuła jest prawdziwa (jest tautologia˛ rachunku predykatów) jeżeli jest zdaniem prawdziwym w każdej
interpretacji.
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Formuły spełnialne i prawdziwe
Formuła ∃x ∀y P(x, y ) jest spełnialna ale nie jest tautologia˛
rachunku predykatów ponieważ:
Jest zdaniem prawdziwym dla interpretacji
U = {0, 1, 2, . . . }
P(x, y ) - x ≤ y
Jest zdaniem fałszywym dla interpretacji
U = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }
P(x, y ) - x ≤ y .
Formuła ∀x (P(x) → P(x)) jest tautologia˛ rachunku predykatów
ponieważ jest prawdziwa w każdej interpretacji.
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Wybrane prawa rachunku predykatów
T1.
T2.
T3.
T4.
T5.
T6.
T7.
T8.
T9.
T10.
∀x (P(x) → P(x))
∼ ∀x P(x) ≡ ∃x (∼ P(x))
∼ ∃x P(x) ≡ ∀x (∼ P(x))
∀x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ (∀x P(x) ∧ ∀x Q(x))
∃x (P(x) ∨ Q(x)) ≡ (∃x P(x) ∨ ∃x Q(x))
(∀x P(x) ∨ ∀x Q(x)) → (∀x (P(x) ∨ Q(x))
∃x (P(x) ∧ Q(x)) → (∃x P(x) ∧ ∃x Q(x))
∀x (P(x) → Q(x)) → (∀x P(x) → ∀x Q(x))
∃x (P(x) → Q(x)) ≡ (∀x P(x) → ∃x Q(x))
∃x ∀y P(x, y ) → ∀y ∃x P(x, y )
Pokazać, że implikacje odwrotne w T6, T7, T8, T10 nie sa˛
tatutologiami (ćwiczenia)
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Tautologie rachunku predykatów
Tautologie pozwalaja˛ na przekształcanie formuł.
∼ ∀x (∃y (P(x) → Q(x, y )))
∃x (∼ ∃y (P(x) → Q(x, y ))
∃x ∀y ∼ (P(x) → Q(x, y ))
∃x ∀y ∼ (∼ P(x) ∨ Q(x, y ))
∃x ∀y (P(x)∧ ∼ Q(x, y ))
Adam Kasperski
T2
T3
prawo logiki
prawo logiki
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Tautologie rachunku predykatów
Pokazano, że nie istnieje ogólna metoda (algorytm) rozstrzygajacy
˛ czy zadana formuła rachunku predykatów jest tautologia.
˛ W
ogólnym przypadku problem ten jest wiec
˛ bardzo trudny.
Tautologie˛ można czasami udowodnić korzystajac
˛ z praw logiki
oraz ze znanych tautologii. W przypadku, gdy wszystkie predykaty maja˛ nie wiecej
˛
niż jedna˛ zmienna˛ można skorzystać z tabelki.
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Tautologie rachunku predykatów
Udowodnić tautologie˛ T9:
∃x (P(x) → Q(x)) ≡ (∀x P(x) → ∃x Q(x))
∃x (P(x) → Q(x))
∃x (∼ P(x) ∨ Q(x))
∃x (∼ P(x)) ∨ ∃x Q(x)
∼ ∀x P(x) ∨ ∃x Q(x)
∀x P(x) → ∃x Q(x)
Adam Kasperski
Prawo logiki
T5.
T2.
Prawo logiki
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Tabelka dla predykatów jednoargumentowych
P(x) ∼ P(x) ∃x P(x) ∀x P(x)
1
0
1
1
0
1
0
0
T
T
1
0
P(x) ∧ Q(x) P(x) → Q(x) P(x) ≡ Q(x)
1
1
1
0
0
0
T
T
T
0
1
0
0
1
1
0
1
T
T
1
T
0
T
T
0,T
1,T
0,1,T

 1
0
P(x) =

T
zawsze 1
zawsze 0
czasem 1 czasem 0
P(x)
1
1
1
0
0
0
T
T
T
P(x) ∨ Q(x)
1
1
1
1
0
T
1
T
1,T
Q(x)
1
0
T
1
0
T
1
0
T
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Udowodnić tautologie˛ T6.
(∀x P(x) ∨ ∀x Q(x)) → (∀x (P(x) ∨ Q(x))
P(x)
1
1
1
0
0
0
T
T
T
Q(x) ∀x P(x)
1
1
0
1
T
1
0
1
0
0
0
T
1
0
0
0
T
0
∀x Q(x)
1
0
0
1
0
0
1
0
0
α
∀x P(x) ∨ ∀x Q(x)
1
1
1
1
0
0
1
0
0
Adam Kasperski
β
P(x) ∨ Q(x)
1
1
1
1
0
T
1
T
1,T
Logika pragmatyczna 2009/2010
γ
∀x β
1
1
1
1
0
0
1
0
1,0
α→γ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Reguły wnioskowania
W dowodach, w których korzystamy z kwantyfikatorów można
stosować wszystkie reguły z rachunku zdań. Dodatkowo stosujemy nastepuj
˛ ace
˛ reguły wnioskowania:
∃x P(x)
P(a)
P(b)
D∃:
∃x P(x)
O∃:
O∀:
∀P(x)
P(b)
a jest nowa˛ stała˛ niewystepuj
˛ ac
˛ a˛ w dowodzie, b jest dowolna˛
stała.
˛ Reguły te pozwalaja˛ udowodnić tylko niektóre wnioskowania.
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Dowód założeniowy wprost
∀x (P(x) → Q(x)) → (∃x P(x) → ∃x Q(x))
1:
2:
3:
4:
5:
6:
∀x (P(x) → Q(x))
∃x P(x)
P(a)
P(a) → Q(a)
Q(a)
∃x Q(x)
Adam Kasperski
Założenie
Założenie
O∃ 2
O∀ 1
RO 3,4
D∃ 4
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Dowód założeniowy nie wprost
∀x ∼ P(x) →∼ ∃x P(x)
1:
2:
3:
4:
∀x ∼ P(x)
∃x P(x)
P(a)
∼ P(a)
Sprzeczność 3,4
Adam Kasperski
Założenie
z.d.n.
O∃ 2
O∀ 1
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Dowody założeniowe - błedne
˛
wnioskowanie
∀x ∃y P(x, y ) → ∃x P(x, x)
1:
2:
3:
4:
∀x ∃y P(x, y )
∃y P(a, y )
P(a, a)
∃x P(x, x)
Zał.
O∀ 1
Bład!
˛
D∃ 4
1:
2:
3:
5:
∀x ∃y P(x, y )
∀x P(x, a)
P(a, a)
∃x P(x, x)
Zał.
Bład!
˛
O∀ 2
D∃ 4
Formuła nie jest tautologia.
˛ Nie jest prawdziwa na przykład w
interpretacji U = R i P(x, y ) - x jest wieksze
˛
od y .
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Dowody założenowe
Każdy uczony jest racjonalista.
˛ Niektórzy filozofowie nie sa˛ racjonalistami. Zatem niektórzy filozofowie nie sa˛ uczonymi
U - wszyscy ludzie.
P(x) - x jest uczonym.
Q(x) - x jest filozofem.
R(x) - x jest racjonalista.
˛
(∀x (P(x) → R(x)) ∧ ∃x (Q(x)∧ ∼ R(x))) → ∃x (Q(x)∧ ∼ P(x))
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Dowody założeniowe
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
∀x (P(x) → R(x))
∃x (Q(x)∧ ∼ R(x))
Q(a)∧ ∼ R(a)
P(a) → R(a)
Q(a)
∼ R(a)
∼ R(a) →∼ P(a)
∼ P(a)
Q(a)∧ ∼ P(a)
∃x (Q(x)∧ ∼ P(x))
Adam Kasperski
Zał.
Zał.
O∃ 2
O∀ 1
OK 3
OK 3
KP 4
RO 6,7
DK 5,8
D∃ 9
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Dowody założenowe
Jest ktoś kogo wszyscy kochaja.
˛ Zatem każdy kogoś kocha.
U - wszyscy ludzie.
P(x, y ) - x kocha y .
∃y ∀x P(x, y ) → ∀x ∃y P(x, y )
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Dowody założeniowe
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
∃y ∀x P(x, y )
∼ ∀x ∃y P(x, y )
∃x ∀y ∼ P(x, y )
∀x P(x, a)
∀y ∼ P(b, y )
P(b, a)
∼ P(b, a)
Sprzeczność 6,7
Adam Kasperski
Zał.
Z.d.n.
DM 2
O∃ 1
O∃ 3
O∀ 4
O∀ 5
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Dowody założeniowe
Wszyscy logicy sa˛ zabawni. Ktoś jest logikiem. Zatem każdy jest
zabawny.
U - wszyscy ludzie.
P(x) - x jest logikiem.
Q(x) - y - jest zabawny.
(∀x (P(x) → Q(x)) ∧ ∃x P(x)) → ∀x Q(x)
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010
Jezyk
˛
rachunku predykatów
Formuły rachunku predykatów
Formuły spełnialne i prawdziwe
Dowody założeniowe
Dowody założeniowe
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
∀x (P(x) → Q(x))
∃x P(x)
∼ ∀x Q(x)
P(a)
∃x ∼ Q(x)
∼ Q(b)
P(a) → Q(a)
P(b) → Q(b)
Q(a)
∼ Q(b) →∼ P(b)
∼ P(b)
Zał.
Zał.
Z.d.n.
O∃ 2
DM 3
O∃ 5
O∀ 1
O∀ 1
RO 4,7
KP 8
RO 6,10
Rozumowanie nie jest poprawne. Kontrprzykład: uniwersum U = {a, b}, a
jest zabawny i jest logikiem, b nie jest zabawny i nie jest logikiem. Założenia
sa˛ spełnione a teza nie jest prawdziwa.
Adam Kasperski
Logika pragmatyczna 2009/2010