LOGIKA DLA INFORMATYKÓW, SEMESTR I, INFORMATYKA Lista

LOGIKA DLA INFORMATYKÓW, SEMESTR I, INFORMATYKA
Lista 3
Rachunek kwantyfikatorów
•
•
z książki Ross, Wright „Matematyka dyskretna”, zapoznać się z rozdziałem Rachunek
Predykatów- podrrozdział Kwantyfikatory i Elemetarny Rachunek Predykatów
wypisać najważniejsze prawa rachunku predykatów
1. Zbadaj prawdziwość podanych formuł rachunku kwantyfikatorów w strukturze liczb
naturalnych i strukturze liczb całkowitych
(a) ∃ x ∀ y x y 
(b) ∀ x ∀ y ∃ z xz= y 
(c) ∀ x ∀ y  x 2 = y 2  x= y
(d) ∀ x∃ y x 2 y 2  x y 
(e) ∀ m∃ n2m=n
(f) ∀ n ∃ k  2 n= k 
2. Zapisz podane zdania w postaci formuł rachunku predykatów i oceń ich prawdziwość
(a) Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby mniejszy od 0.
(b) Istnieje liczba naturalna n taka, że kn=k, dla wszystkich liczb całkowitych k.
(c) Jeśli suma dwóch liczb pierwszych jest parzysta, to żadna z tych liczb nie jest równa 2.
(d) x jest największym wspólnym dzielnikiem liczby y i z,
(e) Każda liczba naturalna ma przynajmniej jeden dzielnik, który jest liczbą pierwszą,
(f) Każda liczba rzeczywista, jeśli jest dodatnia , to jest kwadratem pewnej liczby
rzeczywistej
(g) dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna od niej mniejsza
p
(h) każdą liczbę wymierną można przedstawić jako iloraz , gdzie p jest liczbą całkowitą,
q
a q jest liczbą naturalną większą od zera.
3. Niech C(x) oznacza, że kolor x jest czerwony, K(x) oznacza, że x jest kurą, Z(x) oznacza, że
x znosi złote jajka. Zapisz następujące zdania przy użyciu kwantyfikatorów o zasięgu
ograniczonym i podanych predykatów C(x) , K(x) , Z(x) następujące zdania:
(a) Wszystkie kury jeśli są czerwone, to znoszą złote jajka.
(b) Istnieją kury, które chociaż są czerwone to nie znoszą złotych jajek
4. Uzasadnić, że następujące zdania nie są tautologiami rachunku kwantyfikatorów (podając
kontrprzykład)
(a)  ∀ x  p  x ⇒∀ x q  x ⇒∀ x p  x ⇒ q x
(b)  ∀ x  p  x ⇔ ∀ x  q  x ⇒ ∀ x  p  x⇔ q  x 
(c) ∃ x p  x∧∃ x ∈ X  q  x ⇒∃ x  p  x ∧q  x 
(d) ∃ x ∃ y  p x , y ⇒∃ x p x , x 
(f) ∀ y∃ x p  x , y ⇒∃ x ∀ y  p  x , y 
5. (a) Napisz zaprzeczenie zdania P bez spójnika ¬
∀ x∃ y[ x y  ∃ z xz y ]
(b) wyznacz wartość logiczną P, jeśli dziedziną jest zbiór liczb naturalnych lub całkowitych