Konwersatorium z algebry liniowej lista dziesiąta Piotra Śniadego

Konwersatorium z algebry liniowej 
lista dziesiąta
Piotra Śniadego (głównie)
o iloczynie tensorowym
-. Niech A będzie macierzą n × n. Pokaż, że istnieje wielomian niezerowy p, taki, że p(A) = 0. W: to nie
jest zadanie o wielomianie charakterystycznym.
. Pokaż, że macierz kwadratowa A diagonalizuje się wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian niezerowy p bez
pierwiastków wielokrotnych taki, że p(A) = 0.
Niech F(A, K) oznacza przestrzeń funkcji z A w K. δa ∈ F(A, K) to funkcja przyjmująca wartość 1 ∈ K dla
argumentu a ∈ A, i wartość 0 dla wszystkich innych argumentów.
. Dla f ∈ F(X, K) i g ∈ F(Y, K) określmy funkcję f ⊗ g: X × Y → K wzorem (f ⊗ g)(x, y) = f(x)g(y). Przypomnij
sobie, że B = {δx |x ∈ X} jest bazą F(X, K); niech C = {δy |y ∈ Y} będzie analogiczną bazą F(Y, K). Udowodnij, że
D = {f ⊗ g|f ∈ B, g ∈ C} jest bazą F(X × Y, K). Następnie wykaż, że jeśli B, C są zupełnie dowolnymi bazami
F(X, K), F(Y, K), to D określone jak poprzednio w dalszym ciągu jest bazą F(X × Y, K).
. Jeśli zamiast F(X, K) i F(Y, K) wziąć zupełnie dowolne (skończenie wymiarowe?) przestrzenie liniowe V, W, to jak
określić odpowiednik przestrzeni F(X × Y, K)?
. Spróbuj nadać sens pojęciu przestrzeni liniowej F(V, W) której elementami są kombinacje liniowej wektorów z V o
współczynnikach będących wektorami z W. Czy jeśli zamienić rolami V i W, to wyjdzie izomorficzna przestrzeń?
. Udowodnij, że dla dowolnych przestrzeni liniowych F(V, W) ' V ∨ ⊗ W.
. Udowodnij, że jeśli V, W, Z są (skończenie wymiarowymi) przestrzeniami liniowymi, zaś φ: V × W → Z jest
odwozorowaniem dwuliniowym (czyli dla dowolnego v ∈ V funkcja φv : W → Z zadana wzorem φv (w) = φ(v, w)
jest liniowa oraz dla dowolnego w ∈ W funkcja. . . ) wówczas istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe
φ̃ : V ⊗ W → Z o tej własności, że φ(v, w) = φ̃(v ⊗ w). Niniejsza własność nazywana jest funktorialną definicją
iloczynu tensorowego.
. Spaceruj po korytarzach Instytutu mrucząc pod nosem Teoria Kategorii. Obserwuj zachowanie starszych kolegów
oraz pracowników.
. Niech φ: V × V ∨ → K będzie odwzorowaniem dwuliniowym zadanym wzorem φ(v, f) = f(v). Opisz odpowiadające mu odwzorowanie φ̃: V ⊗ V ∗ → K (czyli odwzorowanie φ̃: F(V, V) → K) przy pomocy jednego słowa.
. Jak już wiesz, F(V, W) ' V ∨ ⊗ W. Jak wygląda w tym języku iloczyn macierzy (składanie przekształceń liniowych)?
. (Przypomnienie
przed sesją) Odwzorowanie ϕ: F(V, W) → F(W ∨ , V ∨ ) zadane jest
[(
)z ostatniego
]
( konwerwatorium
)
wzorem ϕ(G) (f) (v) = f G(v) dla G ∈ F(V, W) oraz f ∈ W ∨ i zadaje ono kanoniczny izomorfizm F(V, W) '
F(W ∨ , V ∨ ). Jak powyższy izomorfizm wygląda w języku iloczynu tensorowego?
. Opisz element (Kn )∨ ⊗ (Kn )∨ odpowiadający iloczynowi skalarnemu.
. Opisz element (Kn )∨ ⊗ · · · ⊗ (Kn )∨ odpowiadający wyznacznikowi det. (Jeśli jeszcze nie wiesz, co to jest wyz|
{z
}
n×
nacznik, zrób to zadanie dla n = 2 i n = 3).
. Wskaż kanoniczny izomorfizm (V ⊗ W)∨ ' V ∨ ⊗ W ∨ .
. Zinterpretuj przerózne wyrażenia występujące w algebrze liniowej w języku iloczynów tensorowych.
. Przeczytaj Wstęp do ogólnej teorii względności Schutza albo dowolna inna (dobrą) ksiażkę o  (prace Einsteina
więc odpadają).
. Niech V i W będą ustalonymi (skończenie wymiarowymi) przestrzeniami liniowmymi. Załóżmy, że (V ⊗W)1 oraz
(V ⊗ W)2 są dwiema przestrzeniami liniowymi o tej własności, że dla dowolnej przestrzeni liniowej Z zarówno
(V ⊗ W)1 jak i (V ⊗ W)2 spełniają własność z zadania . Udowodnij, że istnieje kanoniczny izomorfizm pomiędzy
(V ⊗ W)1 i (V ⊗ W)2 . Ten izomorfizm pozwala zidentyfikować te przestrzenie.
. Niech K = Z niech V = Z/n oraz W = Z/m będą ‘przestrzeniami wektorowymi’ nad Z. Pomedytuj czym jest
V ⊗ W.