Wykład 3

II. Równania autonomiczne.
1. Podstawowe pojęcia.
Definicja 1.1.
Niech Q ⊆ Rn , n ≥ 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q → Rn będzie
daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci
(1.1)
x0 = f (x),
w którym prawa strona nie zależy jawnie od zmiennej niezależnej, nazywamy
równaniem autonomicznym.
Definicja 1.2.
Jeżeli f (x) = 0, to rozwiązanie x(t) ≡ x nazywamy punktem krytycznym (lub
równoważnie punktem stałym, punktem osobliwym, punktem stacjonarnym,
położeniem równowagi).
Ewolucję procesów opisanych równaniami typu (1.1) najwygodniej jest rozpatrywać
w przestrzeni fazowej takiego równania, czyli w zbiorze wszystkich możliwych
wartości zmiennej zależnej x. Jeśli x jest wektorem n-wymiarowym, to przestrzeń
fazowa równania (1.1) jest podzbiorem przestrzeni Rn . W przestrzeni Rn+1
leżą krzywe całkowe równania, będące wykresami jego konkretnych rozwiązań.
Rzutując dowolną krzywą całkową na przestrzeń Rn otrzymujemy krzywą
(trajektorię) fazową równania, będącą obrazem jego rozwiązania.
Znajomość trajektorii fazowych (tzw. portretu fazowego) równania daje wiele
informacji o jakościowym charakterze samych rozwiązań (pozwala np. stwierdzić,
czy rozwiązania są ograniczne, czy są okresowe itp.).
Będziemy dalej zakładać, że funkcja f jest klasy C 1 na pewnym otwartym
podzbiorze Q ⊆ Rn .
1
2. Jednowymiarowe równanie autonomiczne.
Rozważamy równanie skalarne
(2.1)
x0 = f (x),
gdzie f : Q → R, Q ⊆ R.
Spostrzeżenie 2.1.
Niech ϕ(t) będzie rozwiązaniem równania (2.1) z maksymalnym przedziałem
istnienia I i zbiorem wartości ϕ(I). Wówczas dla dowolnej stałej c ∈ R funkcja
ψ(t) = ϕ(t + c) jest również rozwiązaniem równania (2.1) na przedziale
I1 = {t ∈ R : t + c ∈ I}. Zatem dowolną krzywą całkową równania (2.1)
w obszarze Ω0 = R × ϕ(I) otrzymamy przesuwając o wektor [−c, 0] krzywą
całkową x = ϕ(t).
Przykład.
Równanie x0 = x ma rozwiązania
ϕ(t) = et ,
ϕ(t) ≡ 0,
ϕ(t) = −et ,
I = R,
I = R,
I = R,
ϕ(I) = (0, ∞),
ϕ(I) = {0},
ϕ(I) = (−∞, 0).
Wszystkie krzywe całkowe w Ω0 = {(t, x) : t ∈ R ∧ x > 0} otrzymamy
przesuwając krzywą x(t) = et , analogicznie krzywe całkowe w
Ω0 = {(t, x) : t ∈ R ∧ x < 0} są przesunięciami krzywej x(t) = −et .
Zatem w celu zbadania jakościowego zachowania takich rodzin krzywych
całkowych wystarczy określić jakościowy charakter jednego rozwiązania z
danej rodziny. Własności rozwiązania równania (2.1) możemy przedstawić
geometrycznie, konstruując jednowymiarowy portret fazowy równania (2.1),
tzn. na prostej fazowej zaznaczamy wszystkie punkty krytyczne równania
(2.1) oraz kierunki wzrostu rozwiązań.
Przykład.
Narysujemy portret fazowy równania skalarnego x0 = x.
2
Przykład.
Narysujemy portret fazowy równania skalarnego x0 = 12 (x2 − 1).
Definicja 2.2.
Mówimy, że punkt osobliwy równania autonomicznego jest izolowany, jeśli w
jego pewnym otoczeniu nie ma innych punktów krytycznych tego równania.
Dla jednowymiarowego równania autonomicznego z jednym izolowanym punktem
osobliwym x można otrzymać jeden z czterech poniższych portretów fazowych.
Rys.
W przypadku (a) punkt krytyczny x nazywamy atraktorem, w przypadkach
(b) i (c) szuntem, zaś w (d) repelerem.
Definicja 2.3.
Mówimy, że dwa równania typu (2.1) są jakościowo równoważne, jeśli mają
taką samą ilość punktów osobliwych tego samego typu rozłożonych na prostej
fazowej w tej samej kolejności.
Przykład.
Rozważmy równania
A. x0 = (x + 2)(x + 1),
1
B. x0 = (x2 − 1),
2
3
C. x0 = −(x + 2)(x + 1).
3. Układy autonomiczne na płaszczyźnie.
Rozpoczniemy od kilku uwag na temat dynamicznej interpretacji układów
autonomicznych. Rozważmy równanie w zapisie wektorowum
(3.1) x0 = f (x),
gdzie f : Rn → Rn jest funkcją wektorową klasy C 1 . Założenie f ∈ C 1 (Rn )
gwarantuje, że przez każdy punkt (t0 , x0 ) przechodzi dokładnie jedna krzywa
całkowa naszego równania.
Niech x(t) będzie rozwiązaniem równania x0 = f (x) spełniającym warunek
początkowy x(t0 ) = x0 . W związku z tym, że równanie, czy też układy równań
różniczkowych opisują zazwyczaj pewne zjawiska zmieniające się w czasie,
zmienną niezależną t można interpretować jako czas. Wartość funkcji I 3
t → x(t) = (x1 (t), ..., xn (t)) ∈ Rn można traktować jako położenie punktu w
chwili t lub stan układu w chwili t. Przestrzeń zmiennych położenia punktu
x(t) nazywamy przestrzenią stanów lub przestrzenią fazową.
Prawa strona równania x0 = f (x) określa w Rn stacjonarne (czyli niezależne
od czasu) pole wektorowe, zaś wektor x0 (t) interpretujemy jako wektor prędkości
poruszającego się punktu x(t). Zatem równanie x0 = f (x) opisuje ruch w
przestrzeni Rn odbywający się pod wpływem stacjonarnego pola wektorowego
f.
Załóżmy, że rozwiązanie x(t) zagadnienia x0 = f (x), x(t0 ) = x0 można
przedłużyć na całą prostą (−∞, ∞). Zatem położenie punktu x(t) w dowolnej
chwili t jest zdeterminowane przez jego położenie x0 w chwili t0 . Zauważmy, że
wobec poczynionego wcześniej spostrzeżenia 2.2, można bez straty ogólności
przyjąć, że t0 = 0. Jeśli bowiem ψ(t) jest rozwiązaniem zagadnienia x0 = f (x),
x(0) = x0 , to ϕ(t) = ψ(t − t0 ) będzie rozwiązaniem zagadnienia x0 = f (x),
x(t0 ) = x0 .
Zbiór {x(t) ∈ Rn : t ∈ I}, gdzie I jest maksymalnym przedziałem istnienia
rozwiązania x równania x0 = f (x), będziemy nazywać trajektorią fazową
ruchu. W przypadku punktu krytycznego x równania x0 = f (x) trajektoria
fazowa jest zbiorem jednoelementowym {x}.
4
Przedstawimy teraz metody tworzenia portretów fazowych na płaszczyźnie,
tj. wyznaczania krzywych fazowych dla układu dwóch równań.
Rozważmy równanie x0 = f (x), gdzie f : Q → R2 , Q ⊆ R2 , czyli w zapisie
skalarnym układ równań
0
x1 = f1 (x1 , x2 )
(3.2)
x02 = f2 (x1 , x2 ),
gdzie f1 i f2 są funkcjami klasy C 1 w zbiorze Q ⊆ R2 .
Jedna z metod wyznaczenia krzywych fazowych dla układu (3.2) wymaga
najpierw znalezienia rozwiązania tego układu, czyli pary funkcji
x1 = x1 (t; c1 , c2 )
x2 = x2 (t; c1 , c2 ),
gdzie stałe c1 , c2 zależą od warunków początkowych. Wielkości x1 , x2 określają
współrzędne punktu poruszającego się na płaszczyźnie. Rugując z rozwiązania
zmienną niezależną t, otrzymujemy zależność
F (x1 , x2 ) = 0,
która jest równaniem trajektorii fazowej ruchu układu (3.2).
Przykład.
Narysujemy portret fazowy układu
0
x1 = −x1
(a)
x02 = −x2 .
Zmienną niezależną t można wyrugować z układu bez znajdowania jego rozwiązania.
W tym celu dzielimy równania układu (3.2) stronami i otrzymujemy równanie
różniczkowe trajektorii fazowych postaci
(3.3)
dx2
f2 (x1 , x2 )
=
.
dx1
f1 (x1 , x2 )
5
Przykład.
Wyznaczymy portret fazowy układu
0
x1 = x2
(b)
x02 = x1 .
Kolejną metodą wyznaczania portretów fazowych układów autonomicznych
na płaszczyźnie, która nie wymaga znajomości jawnego wzoru rozwiązania,
jest metoda izoklin (patrz rozdział 4 części I). Metoda ta polega na analizie
kierunków pola wektorowego f (x) = (f1 (x1 , x2 ), f2 (x1 , x2 )), które są stałe na
izoklinach równania różniczkowego (3.3).
Przykład.
Narysujemy portret fazowy układu
0
x1 = x21
(c)
x02 = x2 (2x1 − x2 ).
4. Potoki i orbity.
Rozważmy równanie autonomiczne w zapisie wektorowym
(4.1) x0 = f (x),
gdzie f : Q → Rn jest funkcją wektorową klasy C 1 w pewnym zbiorze
otwartym Q ⊂ Rn .
Przypomnijmy, że wtedy równanie (4.1) uzupełnione warunkiem początkowym
x(0) = p, p ∈ Q, ma jednoznaczne rozwiązanie w pewnym przedziale otwarym
I ⊂ R. Z twierdzenia Picarda-Lindelöfa (twierdzenie 3.2 części I) wynika
następujący wniosek:
6
Wniosek 4.1.
Niech ϕ(t; p) będzie rozwiązaniem zagadnienia
(4.2) x0 = f (x),
x(0) = p,
określonym w zbiorze otwartym Ω ⊂ I × Q. Wówczas funkcja ϕ(t; p) spełnia
warunki
(i) ϕ(0; p) = p;
(ii) ϕ(t; p) jest ciągła na Ω;
(iii) ϕ(t + τ ; p) = ϕ(t; ϕ(τ ; p)) na Ω.
Dowód. (ćwiczenie)
Niech M ⊂ Rn będzie przestrzenią fazową równania (4.1) i niech f będzie
klasy C 1 na M . Wtedy dla każdego warunku początkowego p ∈ M mamy
rozwiązanie ϕ(t; p) ⊂ M . Załóżmy, że rozwiązanie ϕ(t; p) może być przedłużone
na całą prostą (−∞, ∞).
Definicja 4.2.
Przekształcenie g : M → Rn , M ⊂ Rn , nazywamy dyfeomorfizmem, jeżeli
jest nieosobliwe (tzn. jakobian g jest różny od zera), różnowartościowe, różniczkowalne,
ma ciągłą różniczkę oraz przekształcenie odwrotne g −1 jest ciągłe.
Definicja 4.3.
Potokiem generowanym przez równanie (4.1) nazywamy parę (M, g t ), gdzie
M ⊂ Rn jest przestrzenią fazową, a g t jest rodziną dyfeomorfizmów parametryzowaną
zmienną t i wyznaczoną przez rozwiązanie równania (4.1), tzn. g t (p) = ϕ(t; p),
spełniającą warunki
1. g t : M → M ;
2. g t i (g t )−1 = g −t są różnowartościowymi przekształceniami M w M ;
3. g t+s = g t ◦ g s .
7
Dla rozwiązania równania różniczkowego warunki (1)-(3) definicji 4.3 są spełnione
na podstawie gładkiej zależności od warunków początkowych oraz wniosku
4.1.
Definicja 4.4.
Trajektorią fazową albo orbitą punktu p w potoku (M, g t ) nazywamy zbiór
wartości odwzorowania g t (p), t ∈ (−∞, ∞).
O punkcie p takim, że f (p) = 0 będziemy mówić, że jest punktem osobliwym
(krytycznym) potoku generowanego przez równanie (4.1). Jeśli punkt p jest
krytyczny, to jego orbita jest stała g t (p) ≡ p.
Przykład.
Dla równania skalarnego x0 = x orbita punktu p ∈ R ma postać
{pet : t ∈ R}. Jeśli p > 0, to orbita ta jest półprostą {(0, ∞)}, jeśli p < 0
to półprostą {(−∞, 0)}, a dla punktu p = 0 orbita jest punktem {0}, czyli
p = 0 jest punktem osobliwym.
Przykład.
Wyznaczymy orbity układu
0
x1 = −x2 + x1 (1 − x21 − x22 )
(d)
x02 = −x1 + x2 (1 − x21 − x22 ).
Przestrzenią fazową układu (d) jest M = R2 . Wprowadzając współrzędne
biegunowe
x1 = r cos θ,
x2 = r sin θ,
można układ (d) sprowadzić do postaci
0
r = r(1 − r2 )
θ0 = 1.
Orbity równania r0 = r(1 − r2 ) mają postać (ćwiczenie)
(
)
t
pe
p
: t∈R ,
p2 e2t − p2 + 1
8
czyli orbitami są punkty r = 0, r = 1, przedział (0, 1) oraz półprosta (1, ∞).
Jeśli uwzględnimy zależność od kąta θ, to orbitami w układzie zmiennych
(x1 , x2 ) są: punkt krytyczny (0, 0), orbita okresowa, tj. okrąg x21 + x22 = 1
oraz orbity otwarte, które są spiralami nawijającymi się od zewnątrz lub od
wewnątrz na orbitę okresową.
Powyższe przykłady znów pokazują zalety badania równań w przestrzeni
fazowej. Badanie dużej ilości poszczególnych rozwiązań można zastąpić badaniem
znacznie mniejszej ilości orbit. Poniżej wymienimy podstawowe własności
orbit (trajektorii fazowych).
Twierdzenie 4.5. (jednoznaczność)
Przez każdy punkt przestrzeni fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita.
Twierdzenie 4.6. (klasyfikacja orbit)
Niech (M, g t ), t ∈ (−∞, ∞), będzie danym potokiem generowanym przez
równanie (4.1) z funkcją f ∈ C 1 (M ). Orbity tego potoku dzielą się na trzy
kategorie:
1. orbity otwarte, tj. dyfeomorficzne z prostą rzeczywistą,
2. orbity zamknięte, tj. okresowe,
3. punkty krytyczne.
Z twierdzenia 4.5 wynika, że dwie orbity nie mogą się przecinać, zaś z twierdzenia
4.6 wynika, że orbita nie może przecinać samą siebie.
Definicja 4.7.
Mówimy, że dwa potoki (M, g1t ) i (M, g2t ) są topologicznie równoważne, jeśli
istnieje taki homeomorfizm h : M → M , że dla każdego t ∈ R zachodzi
warunek
h ◦ g1t = g2t ◦ h.
9
Przypomnijmy, że portret fazowy równania (4.1) to zbiór wszystkich zorientowanych
orbit (tzn. takich, na których wyróżnia się kierunki t → ∞ i t → −∞) w
potoku generowanym przez to równanie (lub inaczej przez pole wektorowe
f (x)). Powiemy, że dwa równania typu (4.1) z tą samą przestrzenią fazową
są topologicznie równoważne, jeśli potoki generowane przez te równania są
topologicznie równoważne. Wtedy równania takie mają topologicznie równoważne
portrety fazowe, tzn. istnieje homeomorfizm przekształcający orbity jednego
portretu fazowego na orbity drugiego.
10