Zadanie 1AB. Zbadać, czy ciąg an = 1 + 1 + ˇˇˇ + jest ograniczony i

Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne (Analiza Matematyczna (Egzamin, 03.02.2011))
Zadanie 1AB. Zbadać, czy ciąg an =
to ciąg zbieżny?
1
n+1
+
1
n+2
+ ··· +
1
2n
jest ograniczony i rosnący. Czy jest
Rozwiązanie. Wielu studentów nie rozumie wzoru na n-ty wyraz ciągu:
an =
1
1
1
+
+ ··· +
.
n+1 n+2
2n
Nie miejsce tu, by to wyjaśniać, więc ograniczę się do podania kilku początkowych wyrazów ciągu
a1 = 12 ,
a2 =
a3 =
a4 =
1
3
1
4
1
5
+
+
+
1
4
1
5
1
6
=
+
+
7
12 ,
1
6 =
1
7 +
37
60 ,
1
533
8 = 840 .
’Na oko’ widać, że kolejne wyrazy są coraz większe, więc przypuszczalnie ciąg jest rosnący.
Różnice sąsiednich wyrazów potwierdzają przypuszczenie, ale nie stanowią dowodu:
a2 − a1 = 13 + 41 − 12 = 31 + 14 − 12 = 31 − 14 > 0,
a3 − a2 = 14 + 51 + 16 − 31 + 41 = 15 + 16 − 31 = 51 + 16 − 13 = 15 − 16 > 0,
a4 − a3 = 15 + 61 + 17 + 18 − 41 + 15 + 16 = 17 + 81 − 14 = 17 + 18 − 14 = 17 − 18 > 0.
Przejdźmy do rozważań ogólnych. Ponieważ
an+1 =
1
1
1
1
1
+
+ ··· +
+
+
n+2 n+3
2n 2n + 1 2n + 2
więc
an+1 − an =
1
1
1
1
1
+
+ ··· +
+
+
n+2 n+3
2n 2n + 1 2n + 2
=
−
1
1
1
+
+ ··· +
n+1 n+2
2n
=
1
1
1
1
1
+
−
=
−
>0
2n + 1 2n + 2 n + 1
2n + 1 2n + 2
Wnioskujemy stąd, że ciąg {an }n∈N jest rosnący.
Aby pokazać, że jest to ciąg ograniczony wystarczy zauważyć, że każdy składnik sumy określającej an jest mniejszy od n1 . Zatem
an =
1
1
1
1
1
1
1
+
+ ··· +
< + + · · · + = n · = 1,
n+1 n+2
2n |n n {z
n}
n
n
zatem wszystkie wyrazy ciągu leżą w przedziale (0, 1), tzn. jest to ciąg ograniczony.
Jeden z wniosków z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa głosi, że każdy ciąg monotoniczny i ograniczony zawiera podciąg zbieżny. Zatem, ciąg zdefiniowany w treści zadania jest zbieżny. Korzystając
z rachunku całkowego można dowieść, że lim an = ln 2.
n→∞
Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.
n
W ramach wykładu przedstawiałem znacznie trudniejszy fakt, a mianowicie: Ciąg an = 1 + n1
jest ograniczony i rosnący, a zatem jest ciągiem zbieżnym. Jego granicę oznaczamy symbolem e:
1 n
def
e = lim 1 +
.
n→∞
n
Opracował: Czesław Bagiński
1