Zadanie 1AB. Zbadać, czy ciąg 1 n + 1 2n + 1 3n ˇˇˇ + 1 n · n jest to

Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne (Analiza Matematyczna (Egzamin, 03.02.2011))
Zadanie 1AB. Zbadać, czy ciąg
1
1
1
1
+
+
··· +
n 2n 3n
n·n
jest to ciąg ograniczony i rosnący. Czy jest to ciąg zbieżny?
an =
Rozwiązanie. Zamieszczone rozwiązanie podobnego zadania w pliku obok mogło mieć wpływ na
to, że już tylko nieliczni studenci nie potrafili podać początkowych wyrazów ciągu. Wiem, wiem
– niektórzy nauczyli się tych wyrazów na pamięć i teraz już ich nie pamiętają. Wypiszmy więc
pierwsze cztery wyrazy tego ciągu:
a1 = 1,
a2 =
a3 =
a4 =
1
2
1
3
1
4
+
+
+
1
4
1
6
1
8
= 34 ,
+
+
1
11
9 = 18 ,
1
1
12 + 16
=
25
48 .
Kolejne wyrazy są coraz mniejsze, więc wydaje się, że ciąg jest malejący. Aby to wykazać
rozważmy różnicę an − an+1 . Mamy
1
1
1
1
1
1
1
+
+ ··· +
−
+
+ ··· +
+
=
an −an+1 =
n 2n
n·n
n + 1 2(n + 1)
n · (n + 1) (n + 1) · (n + 1)
1
1 1
1
1
1 1
1
1
=
1 + + + ··· +
−
1 + + + ··· +
−
=
n
2 3
n
n+1
2 3
n
(n + 1)2
1
1 1
1
1
1
−
1 + + + ··· +
−
=
=
n n+1
2 3
n
(n + 1)2
1
1 1
1
1
1
1
1
=
1 + + + ··· +
−
>
−
=
>0
2
2
n(n + 1)
2 3
n
(n + 1)
n(n + 1) (n + 1)
n(n + 1)2
Wnioskujemy stąd, że każdy wyraz ciągu jest większy od następnego, czyli ciąg {an }n∈N jest malejący.
Już wspominałem i być może niektórzy nawet to zapamiętali, że każdy ciąg monotoniczny i
ograniczony jest zbieżny. Nasz ciąg jest monotoniczny, bo jest malejący i oczywiście jest ograniczony, ponieważ jego wszystkie wyrazy leżą w przedziale (0, 1] (bo przecież największym wyrazem
jest 1 oraz wszystkie wyrazy są dodatnie).
Trudniej jest wyznaczyć granicę tego ciągu. Jeśli jednak pamiętamy (ale kto by tam pamiętał
takie szczególiki z wykładu), że
1 1
1
lim 1 + + + · · · + − ln n = γ,
n→∞
2 3
n
gdzie γ jest pewną stałą (mniejszą od 1), zwaną stałą Eulera, to otrzymamy
1
1 1
1
ln n + γ
ln n
lim an = lim
1 + + + ··· +
= lim
= lim
= 0.
n→∞
n→∞ n
n→∞
n→∞ n
2 3
n
n
Ostatnia równość jest konsekwencją tego, że
1
ln x
(ln x)0
reguła
x
=
= 0.
= lim
=
lim
x→∞ x
x→∞ (x)0
x→∞ 1
de l’Hospitala
lim
W pliku po prawej jest więcej przykładów granic dla domyślnych.
Opracował: Czesław Bagiński
1