Wielomiany Równość wielomianów Twierdzenie o dzieleniu
Transkrypt
Wielomiany Równość wielomianów Twierdzenie o dzieleniu
Wielomiany Wielomianem jednej zmiennej (tu: rzeczywistej) nazywamy funkcję nazywamy współczynnikami wielomianu. Liczby Jeśli , to liczbę nazywamy stopniem wielomianu: deg ("degree"). Jeśli , to wielomian nazywamy zerowym. Ma on wszystkie współczynniki równe zeru. Takiemu wielomianowi nie przypisujemy żadnego stopnia. (Można mu też przypisać stopień ). Równość wielomianów Mówimy, że dwa wielomiany , zmiennej rzeczywistej są równe wartości dla każdej wartości zmiennej : gdy przyjmują te same . Twierdzenie o równości wielomianów Dwa wielomiany , zmiennej rzeczywistej są równe (zapisujemy to: wtedy gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej . ) wtedy i tylko Twierdzenie o dzieleniu wielomianów Jeśli , są wielomianami i , , że ilorazem wielomianów nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany , przy czym . Wielomian i , zaś wielomian — resztą z dzielenia przez . nazywamy Podzielność wielomianów Jeśli , to mówimy, że wielomian jest podzielny przez wielomian . Pierwiastek wielomianu Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę rzeczywistą , że . O dzieleniu wielomianu przez dwumian Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian jest równa . Twierdzenie Bèzout Liczba jest pierwiastkiem wielomianu podzielny przez . wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest Inna postać zapisu tw. Bèzouta Jeśli jest pierwiastkiem wielomianu gdzie , to można go zapisać w postaci: jest wielomianem stopnia o 1 niższego niż , . Twierdzenie Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego. Twierdzenie Każdy wielomian —tego stopnia ma co najwyżej pierwiastków. Twierdzenie Każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek. Krotność pierwiastka Liczbę nazywamy —krotnym (gdzie podzielny przez pierwiastka. ) pierwiastkiem wielomianu , ale nie jest podzielny przez . Liczbę jest nazywamy krotnością Funkcje wymierne Funkcję: wymierną. Dziedziną , gdzie tej funkcji jest zbiór , nazywamy funkcją są wielomianami i .