rolnwyk1

Prowadzący:
dr Urszula Konieczna-Spychała
imif.utp.edu.pl
Literatura:
1. Jerzy Greń,
Statystyka matematyczna. Modele i zadania.
2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka,
Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.
3. J. Koronacki, J. Mielniczuk,
Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych.
4. S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka,
Statystyka. Elementy teorii i zadania.
Symbol sumy.
Symbolem sumy jest grecka litera
sigma duża .
n
 f (k )
k 1
k- wskaźnik sumowania
n –granica sumowania
f(k) – wyrażenie zawierające k
Przykład:
100
2
2
2
2
k

1

2

3

...

100

k 1
Reguły:
1)
zmiana symbolu wskaźnika nie zmienia treści,
100
100
i 1
k 1
 (2i 1)   (2k 1)
2)
jeśli wyrażenie f(k) =c to każdy składnik sumy jest równy c
50
 a  50  a
k 1
3)
czynnik niezależny od wskaźnika można wyłączyć przed znak
sumy
np.
250
250
3
2
(
l

3
)

2
(
l

3
)


3
l 1
4)
l 1
obie granice sumowania można podwyższyć o dowolna liczbę r
zastępując f(k) przez f(k-r)
250
252
3
2
(
l

3
)

2
(
l

1
)



3
l 1
l 3
 2  43  2  53  ...  2  2533
I.
Elementy rachunku prawdopodobieństwa.
1. Podstawowe pojęcia.
-doświadczenie losowe
np. rzut monetą, rzut kostką, obserwacja siły kiełkowania danej rośliny,
-zdarzenie elementarne
np. wyrzucenie orła, wyrzucenie 2 oczek,
liczba ziaren, które wykiełkowały,
-przestrzeń zdarzeń elementarnych
(ozn. )
-zdarzenie losowe ( ozn. A, B, C,...)
np. wyrzucenie parzystej liczby oczek,
wykiełkowanie 50% ziaren,
Działania na zdarzeniach
(analogiczne do działań na zbiorach)
Suma AB
Iloczyn AB
Różnica A-B lub B-A
Przykład:
Rzucamy 3 razy monetą.
A-wyrzucono 2 razy orła,
B-wyrzucono co najmniej 1 reszkę.
A={(O,O,R), (O,R,O),(R,O,O)}
B={(O,O,R), (O,R,O), (R,O,O),(R,R,O), (O,R,R),
(R,O,R),(R,R,R)}
Wówczas:
AB={(O,O,R), (O,R,O), (R,O,O),
(R,R,O), (O,R,R), (R,O,R),
(R,R,R)}=B
AB=A
B-A=(R,R,O), (O,R,R), (R,O,R),
(R,R,R)}
A-B=Ø
Zdarzenie niemożliwe Ø
Zdarzenie przeciwne:
A   A
np.
-w rzucie monetą zdarzenie „wyrzucono orła” jest przeciwne do zdarzenia
„wyrzucono reszkę”
-w rzucie kostką zdarzenie „wyrzucono co najmniej 2 oczka” jest przeciwne
do zdarzenia „wyrzucono 1 oczko”
Zdarzenia wykluczające się:
A  B  0
- w rzucie kostką zdarzenie: „wyrzucono parzystą liczbę oczek” i zdarzenie:
„ wyrzucono 3 lub 5 oczek” wykluczają się
2. Prawdopodobieństwo zdarzeń:
Definicja:
Niech dana będzie  i rodzina zdarzeń S tej przestrzeni.
Prawdopodobieństwem P zdarzenia AS nazywamy funkcję P:SR spełniającą
aksjomaty:
1) P()=1;
2) 0P(A)1, AS;
3) Jeżeli A1, A2,... parami się wykluczają, to
P(A1A2...)=P(A1)+P(A2)+...
Szczególne przypadki:
-definicja klasyczna
P( A) 
A

Przykład:
Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy parzystą
liczbę oczek?
Rozwiązanie:
=3
P(A)=
-prawdopodobieństwo geometryczne
P ( A) 
m A 
m 
Przykład.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że punkt rzucony w koło o promieniu R
znajdzie się wewnątrz wpisanego w nie kwadratu?
Rozwiązanie:
Ω
2R
A
m(Ω)=π∙R2
m(A)=
=2∙R2
Własności prawdopodobieństwa:
1.P(0 )  0
2.P ( A )  1  P( A)
3.P( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B)
A B
4.Gdy
to
P ( A)  P( B )
Schemat dwumianowy (Bernoulliego):
1. Wykonujemy n - krotnie to samo doświadczenie losowe.
2. Każde doświadczenie kończy się zajściem zdarzenia A (sukces) lub
zdarzenia
A
(porażka).
3. Prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo w każdej powtórce, ozn.
P(A)=p (podobnie jak P( A )=1-p)
Prawdopodobieństwo k sukcesów w schemacie Bernoulliego:
 n k
nk
Pk (n)    p 1  p 
k 
gdzie k=0,1,...,n;
n
n!
  
 k  k!(n  k )!
(silnia)
n! 1  2  3  ...  n
0!=1
4!=24
Przykład (1)
Rzucamy 5 razy monetą.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy 3 razy orła?
 5  1 
P3 (5)    
 3  2 
3
 1
1  
 2
5 3


5! 1 1 3!4  5 1
  
 
3!2! 8 4
3!2 32

10 5

32 16
Przykład (2)
Na określonej trasie jeżdżą 4 autobusy. Prawdopodobieństwo awarii każdego
z nich w określonym czasie wynosi 0,25. Obliczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia, że w tym czasie zepsują się 2 autobusy.
 4  1 
P2 (4)    
 2  4 
2
 1
1  
 4
4 2

4! 1 9
9
   6

2!2! 16 16
256

27
 0,21
128
