Zadania z algebry, grupa IV, zestaw II • Metryka g na przestrzeni V

Zadania z algebry, grupa IV, zestaw II
• Metryka g na przestrzeni V ma w bazie {e1 , e2 , ...} podana nizej macierz.
Znalezc jadro tej metryki, jego baze, oraz baze podprzesttrzni W , takiej
ze V = W ⊕ Ker g. Wyliczyc macierz metryki w bazie zgodnej z tym
rozkladem.


0
3 −2

0
5 
 −3

2 −5
0
• Dana jest macierz g metryki symplektycznej g w bazie {e1 , ...e4 }. Znalezc
macierz przejscia do bazy, w ktorej metryka przyjmuje postac kanoniczna.





•
0
1 −2
3
−1
0
4 −5 


2 −4
0
3 
−3
5 −3
0

∗
W przestrzeni funkcji ciaglych rzeczywistych na odcinku < −1, 1 >
wprowadzamy
metryke kwadratowa z iloczynem skalarnym g(f1 , f2 ) =
R1
2 3
k
−1 f1 (t)f2 (t)dt. Wezmy jako baze uklad jednomianow 1, t, t , t , ...., t .......
Wyliczyc cztery najnizsze wyrazy ciagu wielomianow, ktore sa ortogonalne (w sensie iloczynu skalarnego zdefiniowanego powyzej).
• Powtorzyc diagonalizacje (krotkie kolokwium).
1