Algebry Banacha i teoria spektralna

Algebry Banacha i teoria spektralna
Wykład 1
• Pojęcie algebry unormowanej i algebry Banacha. Przykłady: algebra C(K) funkcji
ciągłych na zwartej przestrzeni Hausdorffa K, algebra C0 (Ω) funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa Ω, algebra
B(X) ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeni Banacha X (w szczególności – algebry macierzy Mn (R) i Mn (C)), algebra L1 (G) funkcji całkowalnych
względem miary Haara na lokalnie zwartej grupie topologicznej G (w szczególności
– algebry `1 (Z) i L1 (Rn )), algebra dyskowa A (∆) ciągłych funkcji zespolonych na
∆ = {z ∈ C : |z| ¬ 1}, holomorficznych wewnątrz ∆.
• Ogólne konstrukcje dla algebr unormowanych: kanoniczne dodanie jedności, pojęcie jedynki aproksymatywnej, reprezentacje regularne, kompleksyfikacja algebr
rzeczywistych.
• Homomorfizmy zespolone (funkcjonały liniowo-multiplikatywne) oraz ich ciągłość.
Twierdzenie Gleasona–Kahane–Żelazki. Postać homomorfizmów zespolonych na
algebrze L1 (Rn ); transformata Fouriera.
• Grupa G(A ) elementów odwracalnych i jej topologiczne własności. Składowa
główna grupy G(A ) a funkcja logarytmiczna na algebrze A .
• Pojęcie spektrum i promienia spektralnego. Własności granicy limn kxn k1/n . Twierdzenie Gelfanda–Mazura.
Literatura
[1] W. Arveson, An Invitation to C ∗ -Algebras, Graduate Texts in Math. 39, SpringerVerlag 1976.
[2] W. Arveson, A Short Course on Spectral Theory, Graduate Texts in Math. 209,
Springer-Verlag 2002.
[3] B. Blackadar, Operator Algebras. Theory of C ∗ -Algebras and von Neumann Algebras, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 122, Springer-Verlag 2006.
[4] C.E. Rickart, General Theory of Banach Algebras, Van Nostrand, Princeton 1960.
[5] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
[6] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001.
[7] M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 124, Springer-Verlag 2002.
1