Analiza matematyczna 1B, Konwersatorium 2 K13. Ciąg xn jest

Analiza matematyczna 1B, Konwersatorium 2
K13.
Ciąg xn jest określony następująco: 0 < x1 < 1, xn = xn−1 /2 dla parzystych
n, oraz xn = (1 + xn−1 )/2 dla nieparzystych n. Jakie punkty supienia ma ten ciąg.
Wskazówka: Oblicz x2n i x2n+1 .
√
√
K14. Znajdź granice ciągów an = √n1n! , b1 = 2, bn+1 = bn + 2.
K15*. Znajdź granice
x
x
lim cos · cos x4 · ... · cos n , 0 < x < π,
n→∞
2
2
√
lim sin2 (π n2 + n).
n→∞
K16*. Znaleźć liczbę naturalną k taką, że
n2012
1
.
=
k
k
n→∞ n − (n − 1)
2013
lim
K17. Rozwiąż równania i nierówności
x+2
.
4
K18. Wiadomo, ze ciąg bn jest zbieżny. Czy ciąg cn = n(bn − bn−1 ) może być rozbieżny
do +∞?
K19*. Ciąg an ma własność an < (an−1 + an+1 )/2. Pokazać, że zachodzi jedna z trzech
możliwości:
(a) an → +∞
(b) an → −∞
(c) an jest zbieżny.
K20. Udowodnić nierówność Schwarza
v
v
uX
uX
n
n
X
u
u n 2
2 t
t
xj y j ≤
xj ·
yj .
[x] = 2x,
j=1
{x} = |x| − 1, {[x]} ≤
j=1
j=1
Pn
2
Wskazówka. Udowodnić najpierw przy dodatkowym założeniu, że
j=1 xj = 1 i
Pn
2
j=1 yj = 1. Następnie pozbyć się tego założenia.
K21. Niech A ⊂ B ⊂ R. Mówimy, że zbiór A jest gesty w zbiorze B, gdy
(∀b ∈ B)(∀ε > 0)(∃a ∈ A)(|a − b| < ε).
Udowodnić, że zbiór liczb wymiernych jest gęsty w R.
Podaj procedurę ustawienia liczb wymiernych w ciąg tak, aby żadna z liczb się nie
powtarzała. Co możesz powiedzieć o punktach skupienia ciągu złożonego z wszystkich
licz wymiernych? Udowodnić, że zbiór liczb wymiernych można podzielić na nieskończenie
wiele roz/lacznych podzbiorów, z których każdy jest gęsty w R.
K22. Wykazać, że jeśli α jest liczbą niewymierną, to zbiór {nα − [nα] : n ∈ N} jest
gęsty w [0,1).
K23*. Ciąg xn spełnia warunek 0 ≤ xn+m ≤ xn + xm . Pokazać, że
xn
xn
lim
= inf .
n→∞ n
n n