I etap konkursu matematycznego „I love Math”

I etap konkursu matematycznego „I love Math”
Czas trwania konkursu 90 min
Zadania sformułowane w języku angielskim zachowują oryginalną symbolikę, czasami różną od tej, używanej
w Polsce. Staraj się podawad możliwie obszerne rozwiązania. Odpowiedzi udzielaj w języku polskim.
1. The line x – 3y = 0 intersects the circle x2 + y2 = 10 at the points a and b.
a. Find the co-ordinates of a and the co-ordinates of b.
b. Show that [ab] is a diameter of the circle.
2. Draw the graph of the function f(x) = -x2 + 3x – 2 for 3≤x≤4, x
.
Use your graph to answer the following:
a. For what range of values of x is f(x) less than zero?
b. Write down the minimum value of f(x).
c. For what values of x f(x)= - 0.75
3. The first terms of a geometric series are
a. Find r, the common ratio.
b. Find an expression for Sn, the sum of the first n terms.
Write your answer in the form
where
c. The sum of the first n terms of the geometric series
.
is
.
Find the value of p.
4. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1, x2, x3 równania x3 – 3x2 – 6x + m = 0 spełniają
warunki: x2 = x1 ∙ q, x3 = x1 ∙ q2? Wyznacz te pierwiastki.
5. W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą a i b. Oblicz długości
odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną dwusieczna kata prostego.
6. Dla jakich wartości parametru m wykres funkcji
o
jest nachylony do osi
OX pod kątem α=120 . Dla wyznaczonego parametru m znajdź miejsca zerowe tej funkcji.