Zaliczenie pisemne semestru zimowego - pierwsze

WydziaÃl Matematyki i Nauk Informacyjnych
Politechniki Warszawskiej
dr hab. K. CheÃlmiński
27.11.2008
Równania różniczkowe czastkowe
- semestr zimowy 2009/2010
,
Pierwsze kolokwium zaliczeniowe
Grupa A
Imie, i nazwisko:
Rok studiów i grupa ćwiczeniowa:
Zadanie 1.
Rozważ nastepuj
ace
równanie różniczkowe czastkowe
pierwszego rzedu
,
,
,
,
u2x (x, y) + u2y (x, y) − F (u(x, y)) = 0 w zbiorze R2 ,
gdzie F : R → R jest dana, funkcja, klasy C 1 (R).
(a) Wykaż, że funkcja
L(p, q, z) =
p2 + q 2
2F (z)
+
p2 + q 2
2F (z)
jest staÃla na wstegach
charakterystycznych rozważanego równania.
,
(b) W przypadku F (z) = z znajdź wszystkie ukÃlady dopuszczalnych danych poczatkowych
zagadnienia brze,
gowego u(x, 1) = 1.
(c) Dla każdego ukÃladu dopuszczalnych i niecharakterystycznych danych poczatkowych
ukÃladu wstegi
charak,
,
terystycznej zwiazanej
z
rozważanym
problemem
brzegowym
znajdź
odpowiadaj
ace
temu
ukÃ
l
adowi
rozwi
azanie.
,
,
,
Zadanie 2.
Niech P = {(x, y) ∈ R2 : 2y ≤ x2 + y 2 ≤ 16}. Znajdź funkcje, u harmoniczna, i ograniczona, w zbiorze
U = R2 \ P , ciagÃ
, la, do brzegu ∂U i taka,
, że
u(x, y)|x2 +y2 =16 = 2x2 − 3y + 5 ,
∂u
(x, y)|x2 +y2 =2y = x3 − y + 1
∂n
oraz dodatkowo u(0, 1) = 5.
Wskazówka: cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α
Zadanie 3.
Niech U = (0, π) × R ⊂ R2 . Znajdź funkcje, harmoniczna, w U ciagÃ
, la, do brzegu ∂U i taka,
, że u(0, y) =
u(π, y) = 1 dla y ∈ R oraz u( π2 , 0) = 17. Czy problem ten posiada tylko jedno rozwiazanie?
Czy problem
,
ten posiada ograniczone rozwiazanie?
Wszystkie
odpowiedzi
uzasadnij.
,
Wskazówka: zastosuj metode, rozdzielenia zmiennych. Szukaj rozwiazania
w postaci 1 + v(x, y).
,
Zadanie 4.
Niech f ∈ C 2 (Rn+ ) oraz niech nośnik f bedzie
zwarty i zawarty w Rn+ . Oznaczmy przez
,
Z
u(x) =
G(x, y)f (y) dy dla x ∈ Rn+ ,
Rn
+
gdzie G jest funkcja, Greena póÃlprzestrzeni Rn+ . Wykaż, że u jest rozwiazaniem
równania Poissona −∆u(x) =
,
f (x) w zbiorze Rn+ , ciagÃ
l
ym
do
brzegu
tego
zbioru
i
takim,
że
u
=
0.
|xn =0
,
Wskazówka: PrzedÃluż f zerem na caÃle Rn .
Życze, powodzenia. Krzysztof CheÃlmiński.