7 programowanie nieliniowe - Zachodniopomorski Uniwersytet

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z
przedmiotu:
Badania operacyjne
Temat ćwiczenia:
Komputerowe wspomaganie rozwiązywania zadań
programowania nieliniowego
Opracował:
Dr inż. Artur Berliński
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki
Szczecin 2011
>33<
Programowanie nieliniowe
Programowaniem nieliniowym nazywamy zadanie optymalizacyjne postaci:
gdzie przynajmniej jedna z funkcji f,g lub h nie jest funkcją liniową.
W przeciwieństwie do programowania liniowego, gdzie uniwersalną metodą
rozwiązywania jest algorytm simpleks, nie ma ogólnej metody rozwiązywania programów
nieliniowych. Metoda rozwiązywania zależy tu od postaci, jaką przyjmuje zadanie.
Spośród dostępnych metod szczególnie przydatne praktycznie są metody kierunkowe dwufazowe zaliczane do metod algorytmicznych.
Metoda dwufazowa przetwarza jeden punkt roboczy x(t), - (t) jest numerem iteracji
metody. W każdej iteracji, wykonywane są dwie fazy:
1) wybór kierunku poprawy d(t),
2) minimalizacja w kierunku poprawy, tzn. minimalizacja funkcji jednej zmiennej ,
będącej przekrojem funkcji celu w kierunku d(t), wyprowadzonym z
punktu roboczego x(t); wynikiem minimalizacji jest punkt
, jeśli nie jest spełnione
kryterium zatrzymania (warunek konieczny i wystarczający istnienia minimum), to nowym
punktem roboczym x(t+1) staje się punkt
1)
d1
x2
i następuje przejście do pkt
Minimum na kierunku (d1)
d2
x(2)
x(1)
x1
>34<
Metody dwufazowe optymalizacji nieliniowej wykorzystuje się w dodatku Microsoft
Excel Solver, w szczególności metody: gradientu sprzężonego (GRG –Generalized Reduced
Gradient) oraz Newtona, opracowane
przez Leon Lasdoii z University of Texas
w Austin oraz Allan Waren z Cleveland
State
University.
Wykorzystanie
odpowiedniej
metody
wymaga
zaznaczenia właściwego pola wyboru w
opcjach narzędzia Solver.
Problemy do rozwiązania w ramach ćwiczeń laboratoryjnych
Zadanie 1
Znaleźć dwie nieujemne liczby, dla których sumą jest 9, a iloczyn „pierwszej liczby”
i „drugiej liczby do kwadratu” jest maksymalny.
Zadanie 2
Przedsiębiorstwo przemysłowe korzysta z dwóch bocznic: własnej i PKP. Koszty (w tyś
zł) związane z postojem wagonów na bocznicach wyraża następująca funkcja:
gdzie:
t1>0 - czas trwania wyładunku na bocznicy własnej.
t2 > 0 - czas trwania wyładunku na bocznicy PKP.
Pociągi towarowe wożące surowce do przedsiębiorstwa mają w swym składzie 100
wagonów. Dzienna zdolność przeładunkowa bocznicy własnej wynosi 10 wagonów, a
bocznicy PKP 20 wagonów.
Jak należy rozdzielić wagony między obie bocznice, aby koszt związany z postojem był
możliwie najniższy?
Ile dni wobec tego będzie trwał wyładunek na bocznicy własnej, a ile na bocznicy PKP?
Podać koszt postojowego przy optymalnym rozłożeniu wagonów między obie bocznice.
>35<
(Zakładając, że postojowe liczy się do momentu zakończenia wyładunku ostatniego z
wagonów na każdej z bocznic).
Zadanie 3
Elektrownia składa się z dwóch wydziałów: wydziału produkcyjnego parę i wydziału
produkującego energię elektryczną. Zależność między wydziałami przedstawiona jest na
rysunku. Wyprodukowanie 1 tony pary wymaga 2100 zł. środków finansowych, 0,4 t węgla
brunatnego i 0,045 MWh energii elektrycznej, zaś 1 MWh 6000 zł. środków finansowych 5 t
pary wodnej. Jedna tona węgla kosztuje 4000 zł., zaś cena sprzedaży 1 t pary wodnej wynosi
6000 zł., q 1 MWh 40000 zł. Określić plan produkcji elektrowni zapewniający maksymalny
zysk, jeżeli zasoby środków finansowych wynoszą 600000 zł., a węgla brunatnego 800 t.
Sformułować problem optymalizacyjny.
Zadanie 4
Optymalizacja konstrukcji zbiornika
Transport 1000 m chemikaliów musi być zrealizowany
prostopadłościennych pojemnikach. Należy tak ustalić wymiary
zminimalizować łączne koszty koszty przedsięwzięcia.
w szczelnych,
zbiornika, aby
Pojemnik na chemikalia:
Budowa pojemnika:
o Materiał na górną powierzchnię kosztuje 30 $/m"
o Boki A kosztują 20 $/m2
o Boki B i Dno muszą być wykonane z odpadów, które nic nie kosztują, ale można
je użyć tylko w ilości 10 nr na pojemnik
o Transport kosztuje 2 $ od pojemnika
>36<
Zadanie 5
Optymalizacja kształtu budynku
Określić wymiary budynku d, l, w, h, n tak aby zminimalizować koszt zagłębienia w ziemi
(koszty wykopu).
Część nadziemna i podziemna projektowanego budynku:
Oznaczenia:
n - liczba pięter
d - zagłębienie w ziemi
h - wysokość ponad ziemią
l - długość podstawy
w - szerokość podstawy
Założenia projektowe:
• powierzchnia użytkowa nie mniejsza niż 20 000 m2
• podstawa w żadnym wymiarze nie przekroczy 50 m,
• stosunek długości do szerokości musi wynośić 1,618
• wysokość pięter 3.5 m,
• koszty ogrzewania nie mogą przekroczyć 225 000$ przy założeniu, że roczne koszty
ogrzewania wynoszą 100$ od m2 budynku ponad powierzchnią ziemi.
>37<