θ θ θ θ θ θ θ

Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji:
Lab6_zad.2
Matlab - Optimization Toolbox
Estymacja parametrów modelu odwrotnego wahadła.
Rys.1. Wahadło odwrotne
Liniowy model wahadła odwrotnego (rys.1) w przestrzeni stanu opisują równania:
0
 x&  
 &x&  0
 =
θ&   0
 &&  0
θ  

1
− ( I + ml 2 ) b
I ( M + m ) + Mml 2
0
− mlb
I ( M + m ) + Mml 2
0
m 2 gl 2
I ( M + m ) + Mml 2
0
mgl ( M + m )
I ( M + m ) + Mml 2
0
 x
0  & 
x
  +
1  θ 
0  θ& 

0



I + ml 2

 I ( M + m ) + Mml 2 

u
0


ml


2
 I ( M + m ) + Mml 
, (1)
1
y=
0
gdzie:
M
m
b
l
I
u
x
θ
g
0 0
0 1
x
0   x& 
 +
0  θ 
 &
θ 
0 
0  u
 
masa wózka
masa wahadła
współczynnik tarcia wózka
długość wahadła (od środka ciężkości do wolnego końca)
moment bezwładności wahadła
siła działająca na wózek
współrzędna położenia wózka
kąt wychylenia wahadła (mierzony od pionu)
przyspieszenie ziemskie
0.5 kg,
kg,
0.1 N/m/sek,
m,
kg*m2,
N,
m,
rad,
9.81 m/s2.
Polecenie:
Posługując się metodą najmniejszych kwadratów należy wyznaczyć, na podstawie danych
pomiarowych, estymaty parametrów m, l, I modelu (1). Okres próbkowania wielkości
mierzonych (u, θ, x) jest równy T=0.01 sek. Należy:
i)
sformułować problem optymalizacji;
1
Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji:
Lab6_zad.2
ii)
rozwiązać zadanie optymalizacji przy użyciu:
funkcji fminunc,
funkcji fmincon, przyjmując ograniczenia na wartości zmiennych: eps ≤ m ≤ 2,
eps ≤ l ≤ 1, eps ≤ I ≤ 1,
funkcji lsqnonlin.
Dane pomiarowe dostępne są w pliku dane1_wah_grupa*.mat.
Wskazówki:
Niech:
λ = [λ1, λ2, λ3]T - oznacza wektor poszukiwanych parametrów modelu wahadła;
u = [u(1), u(2),..., u(N)]T – wektor wyników pomiarów wielkości sterującej;
y = [y(1), y(2),..., y(N)]T – wektor wyników pomiarów wielkości sterowanych,
gdzie: y(k) = [x(k), θ(k)].
Schemat procedury poszukiwania wektora λ przedstawia rys.1.
Algorytm
optymalizacji
y
λ
N
f ( λ ) = ∑ y( k ) − yˆ ( k , λ )
2
k =1
u
Model
(zawierający parametry λ)
ŷ
sim(.)
Rys.1. Schemat procedury poszukiwania wektora λ
2