Lista 2. Działania. Własności działań. Podzielność. Algorytm

Lista 3. Działania. Własności działań. Podzielność. Algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera
Działania. Własności działań.
Zadanie 1. Ile różnych działań wewnętrznych można określić z zbiorze
zawierającym:
(a) jeden element,
(b) dwa elementy,
(c) n elementów.
Ile jest takich działań, które są dodatkowo przemienne?
Zadanie 2. W zbiorze K wprowadzamy działanie. Wyznaczyć dla tego działania
element neutralny (o ile istnieje) oraz dla elementów zbioru K elementy
odwrotne (o ile istnieją) jeśli:
(a) K  Z z działaniem  : Z  Z , (a, b)  a  b  2  Z , gdzie (a, b)  Z .
Zadanie 3. Wypisać tabliczki działań dodawania modulo m i mnożenia modulo m
dla m = 2, 3., 4, 5, 6.
Zadanie 4. Podać tabelki wszystkich możliwych działań z zbiorze
A  0,1 .
Zadanie 5. Napisać tabelkę działać modulo 7 i odczytać z tabelki własności
działań.
Podzielność liczb całkowitych
Zadanie 1. Liczba całkowita a  42157 przy dzieleniu przez pewna liczbę dodatnią
całkowitą b daje iloraz k  231 i resztę r . Znaleźć dzielnik b i resztę r .
Zadanie 2. Pokazać, że
n 5  n , gdzie n  N jest podzielna przez 30.
Zadnie 3. Pokazać, że liczba mn(m 4  n 4 ) , gdzie m, n  N dzieli się przez 30.
Zadanie 4. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5 . Jeśli tę cyfrę
przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową liczbę ,
cztery razy większą od poprzedniej. Znaleźć liczbę a .
Algorytm Euklidesa. NWD i NWW
Zadanie 1. Stosując algorytm Euklidesa znaleźć NWD (największy wspólny
dzielnik) liczb 42823 i 6409
Zadanie 2. Znaleźć parę liczb całkowitych ( x0 , y 0 ) spełniających równość
42823  x0  6409  y0  17 .
Zadanie 3. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie
(a) 42823  x  6409  y  68 .;
Opracowała: dr Krystyna Białek
Strona 1
Lista 3. Działania. Własności działań. Podzielność. Algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera
(b) 7  x  8  y  44
(c) 14  x  28  y  39 .
Kongruencje
Zadanie 1. Czy 51984  1983(mod 25) ?
Zadanie 2. Wykazać, że 2 5n1  4 5n1  6  0(mod 31) .
Zadanie 3. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki kongruencji
(a) x 3  2 x  1  0(mod 5) ,
(b) x 2  x  1  0(mod 2) .
Funkcja Eulera  (x) .
Zadanie 1. Policzyć (a)  (55) ,
(b)  (125) ,
(c)  (375) .
Zadanie 2. Znaleźć liczbę naturalną a , jeśli  (a)  3600 oraz a  3  5   7  .
Zadanie 3. Znaleźć liczbę naturalną a , jeśli  (a)  40 , a  p  q gdzie
p i q są różnymi liczbami pierwszymi oraz p  q  6 .
Opracowała: dr Krystyna Białek
Strona 2