Praca domowa nr 3

Matematyka dyskretna
PD3
2016/2017
NAZWISKO i imię
Nr na liście
grupa
Praca domowa nr 3
Algorytm Euklidesa (uogólniony), arytmetyka modulo p, kongruencje
Na podstawie programu alg_kong.exe student otrzyma indywidualny zestaw zadań do wykonania z
zakresu w/w tematyki. Z uwagi na brak możliwości edycyjnych w systemie MS DOS, dokonane
zostały pewne zmiany w przyjętych oznaczeniach. I tak „dodawanie modulo p” postaci a +p b jest
wyrażone jako a +(p)b, a mnożenie a *p b jako a*(p)b. Z tego samego powodu symbol kongruencji w
równaniu m*x  b(modp) zapisano jako m*x == b(modp). Do uruchomienia programu należy podać
swój numer na łącznej liście studentów obu grup.
Uogólniony algorytm Euklidesa dla NWD(m = 135, n = 40)
i
0
1
2
3
4
5
ai
m =135
n = 40
15
10
5
0
qi
si
1
0
1
-2
3
-
3
2
1
2
-
ti
0
1
-3
7
-10
-
-
ai = m*si + n*ti
135 = 1*135 + 0*40
40 = 0*135 + 1*40
15 = 1*135  3*40
10 = 2*135 + 7*40
5 = 3*135  10*40
-
Dodawanie i mnożenie modulo p
a +p b = (a + b) MOD p
a *p b = (a * b) MOD p
m*x  b(modp)  p|(m*x – b) - p dzieli liczbę (m*x – b)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Algebra liczb „modulo p” w zbiorze Zp ={0, 1, 2, 3, ..., p-1}. Rozwiązanie x też musi być w zbiorze Zp
gdy jest kilka rozwiązań
lub X, gdy brak
a +p x = b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
a *p x = b
x1
x2
x3
Równanie kongruencyjne m*x  b(modp)
m* x  b(mod p)
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Uogólniony algorytm Euklidesa (liczby m i n wpisz w komórki o pogrubionych bokach)
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ai
qi
si
ti
ai
qi
si
ti
ai
qi
si
ti
ai
qi
si
ti