Miara i całka, semestr zimowy seria 4 Zadanie 1. Niech X będzie
Transkrypt
Miara i całka, semestr zimowy seria 4 Zadanie 1. Niech X będzie
seria 4 Miara i całka, semestr zimowy Zadanie 1. Niech X będzie dowolnym zbiorem, niech x ∈ X. Dla dowolnego zbioru A ∈ P(X) definiujemy: ( 1, jeśli x ∈ A µ(A) = 0, jeśli x ∈ X \ A. Pokazać, że tak zdefiniowana funkcja µ : P(X) → [0, +∞] jest miarą. Zadanie 2. Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym, niech T będzie σ-algebrą podzbiorów X przeliczalnych lub o uzupełnieniu przeliczalnym. Dla A ∈ T kładziemy: ( 1, jeśli X \ A jest przeliczalny µ(A) = 0, jeśli A jest przeliczalny. pokazać, że tak zdefiniowana funkcja µ : T → [0, +∞] jest miarą. W zadaniach 3-6 zakładamy, że (X, Σ, µ) jest przestrzenią mierzalną. Zadanie 3. Pokazać, że (a) jeżeli (An )n∈N jest rodziną wstępującą zbiorów mierzalnych z Σ, to µ( lim An ) = lim µ(An ); n→+∞ n→+∞ (b) jeżeli (An )n∈N jest rodziną zstępującą zbiorów mierzalnych z Σ oraz dla pewnego m ∈ N mamy µ(Am ) < ∞, to µ( lim An ) = lim µ(An ); n→+∞ n→+∞ Zadanie 4. Mówimy, że zbiór W ⊂ X jest µ-zaniedbywalny, jeśli inf{µ(A) | A ∈ Σ, A ⊃ W } = 0. Pokazać, że W jest zbiorem µ-zaniedbywalnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór A ∈ Σ miary 0 taki, że W ⊂ A. Zadanie 5. Mówimy, że zbiory A, B ∈ Σ różnią się o zbiór miary zero jeśli µ(A \ B) = µ(B \ A) = 0 i piszemy wtedy A ≈µ B. Pokazać, że: (a) ≈µ jest relacją równoważności; (b) jeśli A ≈µ B, to µ(A) = µ(B); (c) jeśli Ai ≈µ Bi dla i ∈ N, to (i) A1 \ A2 ≈µ B1 \ B2 ; (ii) S Ai ≈µ i∈N (iii) T i∈N S Bi ; i∈N Ai ≈µ T Bi . i∈N Zadanie 6. Niech (Ai )i∈N będzie rodziną zbiorów Σ-mierzalnych takich, że µ(Ai ∩ Aj ) = 0 dla i 6= j. Pokazać, że [ X µ( Ai ) = µ(Ai ). i∈N i∈N Zadanie 7. Niech (X, M, µ) będzie przestrzenią mierzalną ze skończoną miarą µ. A, B, Ai zbiorami mierzalnymi (i ∈ N). Wykazać nastepujące własności: 1. B ⊂ A ⇒ µ(A \ B) = µ(A) − µ(B). 2. B ⊂ A ⇒ µ(B) ≤ µ(A). 3. µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B). S P 4. µ( Ai ) ≤ µ(Ai ). i∈N i∈N 2